Intuición: Si las columnas de una matriz son colineales, entonces sus filas también lo son.

Question

Para simplificar, estoy trabajando con una matriz cuadrada de 3x3 en la que ninguno de los vectores columna o fila es el vector cero.

Intenté graficar las columnas de la matriz {{1,4,-3},{2,7,-5},{3,6,-3}} (donde cada grupo de $3$ es una fila) y los $3$ los vectores están en el mismo plano. Entiendo por qué es así; lo que no entiendo es por qué implica necesariamente que el $3$ Los vectores de fila también están en un solo plano.

Tengo una intuición algebraica para el caso 2d. Por ejemplo con vectores v = <1,2> y w = <3,6>, el hecho de que w = 3v significa que las respectivas componentes de los dos vectores están en la misma proporción, y por lo tanto los vectores x = <1,3> e y = <2,6> también son colineales.

Intenté extender ese tipo de lógica al caso 3d pero no lo conseguí debido a la mayor complejidad. Por ejemplo, en la matriz de 3x3 que utilicé, si los vectores columna son u, v y w, entonces u = v + w. Como un vector no es simplemente un múltiplo escalar de otro como en el caso 2d, no puedo aplicar la misma lógica de proporciones guardadas.

He visto esta pregunta: Para una matriz cuadrada, los vectores fila son linealmente independientes si y sólo si las columnas lo son. pero no da el tipo de intuición que estoy buscando.

Answer 1

Si las filas son coplanarias, entonces existe una combinación lineal no nula $x_1R_1+x_2R_2+x_3R_3=0$ con al menos uno de $x_1,x_2,x_3\ne 0$ . Pero esto dice que $LM=0$ , donde $L$ es el vector de filas $L=(x_1,x_2,x_3)$ y $M$ es la matriz con filas $R_1,R_2,R_3$ . Entonces $Me_i$ es el $i$ columna, $C_i$ de la matriz donde $e_i$ es el $i$ vector de base estándar, por lo que $LMe_i=0$ para todos $i$ . Por lo tanto, $LC_i=0$ para todos $i$ . Así, todas las columnas de $M$ se encuentran en el plano $x_1x+x_2y+x_3z=0$ .

He añadido una respuesta con una explicación más general de cómo funciona para la pregunta que Will Jagy enlazó en los comentarios Aunque no estoy seguro de si el caso general le será útil o no.

Answer 2

En general no es cierto que si las filas son colineales entonces las columnas son colineales.

Por ejemplo, un $3\times 2$ matriz con filas $(1,2),(2,1)(3,3)$ tiene filas dependientes pero columnas independientes.

Lo que sí es cierto es que el rango de filas es el mismo que el de columnas.