Convergencia puntual y uniforme de $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{e^{nx}}, n \in \mathbb{N}$

Question

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{e^{nx}}, n \in \mathbb{N}, D=[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$

Intenté usar el criterio de Weierstrass M $\frac{x^n}{e^{nx}} =({\frac{x}{e^{x}}})^n \le (\frac{1}{e})^n$ y $|\frac{1}{e}|\lt1$, así que pensé que como $(\frac{1}{e})^n$ converge (serie geométrica), eso

$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{e^{nx}}$ converge absoluta y uniformemente y por lo tanto puntualmente.
¿Es eso correcto y si no, dónde están mis errores?

Answer 1

El denominador en $x/e^x$ nunca es $0$, por lo que esta función está definida para todo $x\in\mathbb R.$ $$ \frac d{dx} (xe^{-x}) = e^{-x}(1 - x) \begin{cases} >0 & \text{si } x<1, \\ <0 & \text{si } x>1. \end{cases} $$ Así, esta función aumenta en $(-\infty,1]$ y disminuye en $[1,\infty),$ y por lo tanto tiene un máximo absoluto en $x=1,$ donde su valor es $1/e < 1.

Por lo tanto, la conclusión del argumento que muestra $\left|\dfrac x {e^x}\right| \le \dfrac 1 e < 1$ es correcta cuando $x>0.

Sin embargo, $\dfrac x {e^x} \to -\infty$ cuando $x\to-\infty.$ Cuando $x=0$ entonces la desigualdad $\left|\dfrac x {e^x}\right| \le \dfrac 1 e < 1$ claramente se cumple, y así cuando $x$ está cerca de $0$ se cumple, pero hasta qué punto se puede llegar en la dirección negativa y aún mantener esa desigualdad es una pregunta que requerirá un examen más detenido.

Sea $x_0$ el único número real para el cual $x_0 e^{-x_0}=-1.$ La serie diverge para $x=x_0$ y para $x