No. de los valores de $n$ tal que $n \leq 1000$ $n^2+7n+1$ es divisible por $33$

Question

Tengo un problema y me han metido en ella. El problema de los estados que

Encontrar el no. de valores integrales de $n$ tal que $n^2+7n+1$ es divisible por $33$ $1\leq n\leq1000$

Lo que yo hice :

$$n^2+7n+1=33k$$$$n^2+7n+1-33k=0$$$$n=\frac{-7\pm\sqrt{45+132k}}{2}$$ since $n$ is integer $$45+132k=m^2$$ for some integer $m$

LHS es un múltiplo de a$3$, por lo que tiene que ser un múltiplo de $9$ a ser un cuadrado perfecto.

Ahora me he quedado con $$5+44x=m^2$$ where $k=3x$ and $x$ must end with $1,0,4,5,6,9$

Ahora he probado algunos valores de $x$ hacer LHS un prefecto de la plaza y algunas de las soluciones que se $n=7,19,40,52...$

Pero no puedo hacerlo hasta el $1000$

Cómo conseguir matemáticamente? Mi amigo me sugirió hacerlo con la ayuda de congruencias, Pero yo no soy tan fuerte en el uso de ellos.

Si alguien puede explicar cómo puede ser manejado con congruencias, sería muy de agradecer...

Answer 1

O. K. voy a dar una respuesta completa , para la ecuación de $45+132k=m^2$ tenemos que

$k=132 c_1^2-42 c_1+3\land m=132 c_1-21$ o $k=132 c_1^2-90 c_1+15\land m=132 c_1-45$ o $k=132 c_1^2-174 c_1+57\land m=132 c_1-87$ o $k=132 c_1^2-222 c_1+93\land m=132 c_1-111$.

Para que el correspondiente $n$ $n=66c_1 -14,-26,-47,-59$ todos los $c_1 \geq 1$.

Así listado de todas las $n$ que cumplir con sus condiciones de conseguir que la $n=\{7,19,40,52,73,85,106,118,139,151,172,184,205,217,238,250,271,283,304,316,337,349,370,382,403,415,436,448,469,481,502,514,535,547,568,580,601,613,634,646,667,679,700,712,733,745,766,778,799,811,832,844,865,877,898,910,931,943,964,976,997\}$

Que es fácil de calcular capaz de en la fuerza bruta.

Answer 2

La ecuación dada es equivalente a $(2n+7)^2=132k+45$. De ello se desprende que $2n+7=0 \ (3)$, por lo tanto $$n=3n_1-2\tag{1}$$ and $k=3k_1$. This leads to $(6n_1+3)^2=396k_1+45$, o $$(2n_1+1)^2=44k_1+5\ .$$ Esto implica $(2n_1+1)^2=5 \ (11)$ o $2n_1+1=\pm4 \ (11)$. El último puede ser reescrita como $n_1=11n_2+5\pm2$. Conectando a $(1)$ da $$n=33n_2+13\pm6\ .$$ Hasta el momento esto es sólo una condición necesaria en $n$. Pero es fácil comprobar que $7$ $19$ satisfacer la ecuación original, y $n\rightsquigarrow n+33$ transforma soluciones en soluciones. De ello se sigue que el conjunto de soluciones de $S$ en la pregunta está dada por $$S=\{33n_2+7\ |\ 0\leq n_2\leq 30\}\cup\{33n_2+19\ |\ 0\leq n_2\leq29\}\ ,$$ y consta de $61$ elementos.