Reescribiendo la suma infinita

Question

Los siguientes son iguales? $$\sum_{k = 1}^{\infty}a_k = \sum_{k = 1}^{\infty}(a_{2k} + a_{2k - 1})$$ Si puedo ampliar las sumatorias son de la misma serie, por lo que debe ser equivalente en todos los aspectos (convergencia, divergencia, etc.), a la derecha? Sólo quiero confirmar que no hay ningún problema con la manipulación de una serie infinita como este.

Answer 1

Es sutil. Asumiendo $\sum_{k\geq 1}a_k$ es convergente, que siempre pueden escribir $$\sum_{k\geq 1}a_k = \sum_{k\geq 1}(a_{2k}+a_{2k-1})$$ but not $$\sum_{k\geq 1}a_k = \sum_{k\geq 1}a_{2k}+\sum_{k\geq 1}a_{2k-1}$$ as testified by $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$, que es sólo condicionalmente convergente y no absolutamente convergente.

Que depende en última instancia el hecho de que $$ \lim_{n\to +\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\to +\infty}a_n+\lim_{n\to +\infty}b_n $$ tan pronto como cada límite tiene sentido.

También hay una bastante sorprendente hecho, declarado por la de Riemann de la serie teorema: si una serie es condicionalmente convergente pero no absolutamente convergente, para cualquier $\zeta\in\mathbb{R}$, usted puede volver a organizar sus términos a través de una permutación $\sigma$ a fin de que $$\sum_{n\geq 1}a_{\sigma(n)}=\zeta. $$

Answer 2

No, no siempre se puede escribir $$\sum_{k\geq 1}a_k = \sum_{k\geq 1}(a_{2k}+a_{2k-1})$$ For example, let $a_k = (-1)^k.$ Then the first series diverges, while the second series is just the sum of $0$'s, hence converges to $0.$ Es cierto que si el primero de la serie converge, entonces el segundo de la serie converge en el mismo valor. (Pero incluso en este caso, las dos series, generalmente no son idénticos como parte de una secuencia de sumas parciales.)

Answer 3

No, en general no.

las sumas parciales de la segunda forma son sólo una larga de las sumas parciales de la primera.

Sin embargo, con la suposición de que la secuencia de términos $(a_k)_k$ es una secuencia de cero, las dos formas son equivalentes.