¿Se puede dividir la circunferencia de un círculo en número arbitrario de partes iguales usando regla y compás sólo? ¿En otras palabras, son todos los $\frac{2\pi}{k} , k \in \mathbb N^+$ ángulos edificable?
Edit: Añadido al "igual" en el título, para ser más específicos, pero ciertamente no pretendo limitar las respuestas de piezas que son "Iguales", si hay algo interés no requieren las piezas a ser igual yo todavía quiero saber del infierno!
No, no lo son. Sólo se puede construir los ángulos con $k=2^{\alpha}p_1...p_s$, donde el $p_i$'s son (distinta) de los números primos de Fermat.
La prueba no es difícil, pero un poco largo, hacer comentarios, si desea más detalles. Me indican por $\mathcal{P}~$el conjunto de $k$ tal que $\frac{2\pi}{k}$ es edificable :
1) Mostrar que si $k\in \mathcal{P}$,$2k\in\mathcal{P}$.
2) Demostrar que si $n\in \mathcal{P}$, entonces cualquier divisor $d$ $n$ (diferente de $1$) se encuentra también en $\mathcal{P}$.
3) Demostrar que si $n$ $m$ son coprime y ambos pertenecen a $\mathcal{P}$, $mn$ también belnogs a $\mathcal{P}$.
Todos estos elementales y fáciles de preguntas muestran que queda por responder la siguiente pregunta :
Deje $p$ ser un extraño prime. ¿Cuándo $p^\alpha$ pertenecen a $\mathcal{P}$ ?
La respuesta es que $p^{\alpha}$ se encuentra en $\mathcal{P}~$ si y sólo si $p$ es una de Fermat primer y $\alpha=1$.
Responder a esta pregunta es menos de primaria y (que yo sepa) necesita utilizar la teoría de Galois.
Cualquier texto sobre la teoría de Galois le dirá que el ángulo de $\frac{\pi}{9}$ no puede ser construido por regla y compás ( en otras palabras, el ángulo de $\frac{\pi}{3}$ no puede ser trisected). Clásicos de la teoría de Galois nos dice que un número real positivo $\alpha$ no se pueden construir a menos $[\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}]$ es finita y tiene una potencia de $2$. Al $\alpha = \cos(\frac{\pi}{9}),$ la fórmula $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3 \cos(\theta)$ nos dice que $\alpha = \cos(\frac{\pi}{9})$ es una raíz de la cúbico $8x^{3}-6x -1 =0$, y esto es irreducible de grado 3, así que tenemos $[\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}] = 3.$
Si usted va un poco más allá en la teoría de Galois, verá que ( como Gauss descubrió), los ángulos $\frac{2 \pi}{k}$ son construibles precisamente al $k$ es una potencia de 2, o el producto de una potencia de 2 con un producto de distintos números primos de Fermat ( recordemos que un extraño prime $p$ es una de Fermat prime si y sólo si $p-1$ es una potencia de $2$). Por lo tanto $k = 18$ no es un valor admisible.
Como se ha descrito en anteriores respuestas, un círculo puede ser dividido por regla y compás en $n$ a partes iguales si y sólo si $$n=2^a p_1p_2\cdots p_k,$$ donde $a$ es un entero no negativo y el $p_i$ son distintos de los números primos de Fermat. (Permitimos la posibilidad de $k=0$.)
El Fermat de los números primos son los números primos de la forma $2^{2^m}+1$. Sólo hay cinco números primos de Fermat conocido, $3$, $5$, $17$, $257$, y $65537$. Una gran cantidad de trabajo que se ha invertido para encontrar más números primos de Fermat, hasta ahora sin éxito. Incluso se ha conjeturado, con alguna heurística justificaciones, que no hay números primos de Fermat más allá de estos cinco.
Así tenemos que, en esencia, la respuesta completa para el "partes iguales" parte de su pregunta.
¿Qué acerca de partes desiguales? Uno puede dar una respuesta, pero no es tan satisfactoria. Deje $A$ $B$ puntos en un círculo, para la definición del círculo unidad. Deje $d(A,B)$ el (menor) de la distancia entre el $A$ $B$ a lo largo del círculo. La relación de $d(A,B)/\pi$ nos dice lo que la "fracción" de la circunferencia del círculo es tomado por el más corto, el arco de unión $A$$B$. Entonces tenemos el siguiente resultado.
Dado un número real $r$,$0\le r \le 1/2$, existen puntos construibles $A$ $B$ tal que $d(A,B)=r$ si y sólo si el número total $r$ es Euclidiana.
Un número real $x$ es Euclidiano si puede ser obtenido a partir del número $1$, utilizando un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y las aplicaciones de la función de raíz cuadrada.
Hay un análisis muy detallado de todas estas cuestiones, con pruebas, en estos de la Universidad de Utah notas. Todas las partes iguales de materia está allí, y mucho más. Inevitablemente, los detalles que requieren una cierta cantidad de álgebra. Sin embargo, la presentación no hace uso de la Teoría de Galois.
Conmensurables partes: Dos arcos en el círculo unitario se llaman conmensurables si la relación de sus longitudes es un número racional. Se puede pedir una caracterización de la posible regla y el compás de las divisiones en partes que son conmensurables con la circunferencia del círculo. Resulta que podemos dividir un círculo en partes proporcionales si y sólo si la relación de cada parte a toda la circunferencia es de la forma $$\frac{m}{2^a p_1p_2\cdots p_k}$$ donde $m$ es un entero positivo, y, como antes, el $p_i$ son distintos de los números primos de Fermat. La prueba es sencilla, si damos por sentado que la caracterización de los $n$ para que el regular $n$-gon es edificable.
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