¿Funciona un modelo preciso "ruido" cuando se utiliza un filtro de Kalman?

Question

He estado tratando de utilizar un filtro de Kalman para la estimación de la pendiente de una línea (esta es una versión simplificada de mi problema para discusión). Así que, básicamente, variable en el tiempo de regresión.

Estado De La Ecuación: $$ \left[\begin{matrix} a_t \\ x_t \\ n_t \\ \end{de la matriz}\right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.9 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{t-1} \\ x_{t-1} \\ n_{t-1} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sigma_a \\ 0 \\ \sigma_n \\ \end{bmatrix}$$

Medición De La Ecuación: $$ z_t = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{t} \\ x_{t} \\ n_{t} \\ \end{bmatrix}$$

Ahora, cuando puedo generar los datos para la simulación, estoy usando tres piezas sabio continua de las líneas rectas de la señal con el agregado de AR1 ruido de "conducción" de la varianza $\sigma_n^2$, como se puede ver a partir de las ecuaciones anteriores. Yo uso el mismo AR1 "ruido" en el modelo de mi filtro de Kalman ecuación de $n_t$. Sin embargo, para comparar, también probé con un modelo donde el AR1 ruido parte fue eliminado de la ecuación de estado y que sólo utiliza un agregado plazo en la medición de la ecuación por el ruido que había una varianza de la simulación AR1 ruido (así que, básicamente, esto sólo supone un ruido blanco Gaussiano en lugar de AR1).

Los resultados fueron prácticamente idénticos cuando se observa la estimación de la pendiente...con el ruido Gaussiano asunción incluso ser un poco más suave (cuando uso el AR1 modelo de ruido en mi estado de ecuaciones, hay un pequeño componente de alta frecuencia para la estimación de la pendiente). Tenga en cuenta que en ambos casos, la conducción de ruido para la pendiente $\sigma_a$ fue optimizado para min MSE de la línea de estimación. Parcelas para estimar con AR1 ruido modelo utilizado se muestra, con ruido Gaussiano supuesto de producir prácticamente idénticos parcelas y MSE:

Así que mi pregunta: ¿realmente importa siquiera si me modelar con precisión el ruido? Yo esperaba (o esperando) me gustaría obtener un mejor/más suave estimación de la pendiente cuando me modela el ruido exactamente, pero este no es el caso. Hay algo fundamental que alguien puede explicar de que me estoy perdiendo?

Answer 1

Aquí voy a suponer que su espacio de estado es el modelo lineal general de Gauss y que

$$y_{t} = Z_{t}\alpha_{t} + \epsilon_{t}, \;\;\;\;\;\; \epsilon_{t} \sim N(0, H_{t}),$$

y

$$\alpha_{t + 1} = T_{t}\alpha_{t} + R_{t}\eta_{t}, \;\;\;\;\;\ \eta_{t} \sim N(0, Q_{t}),\;\;\;\;\;\; \forall t = 1, \ldots, n.$$

donde $\alpha_{t}$ es nuestro estado desconocido vector en el paso de tiempo $t$, $y_{t}$ la observación vector etc. Nuestro disturbios/error densidades $\epsilon$$\eta$, se asume una distribución normal y añadir ruido a nuestro espacio de estado del modelo. Para tu caso no modelo de observación de ruido (no $H_{t}$).

Si usted mira la predicción de paso del Filtro de Kalman recursividad, usted verá que la predicción de paso es linealmente dependiente de la covarianza del ruido en el proceso $Q_{t}$. ¿Qué significa esto? Así, crudamente, esta covarianza va a tener un efecto en cómo los cambios de estado en cada uno de los pasos de predicción (predicción y actualización) va a cambiar.

Para el caso anterior no es la elección de ruido de tipo que va a ser el factor determinante, pero será la magnitud de este ruido. De lo anterior parece que usted está asumiendo que el proceso de medición es "perfecto", que no incluye una observación [ruido] covarianza plazo (esto está bien). Debido a la naturaleza de la dependencia en $Q_{t}$ si usted toma demasiado grande valor para esto, la predicción paso con cambiar dramáticamente con cada iteración; demasiado pequeño un valor que no se actualizará con la suficiente rapidez para la solución óptima.

La respuesta aquí es para optimizar la covarianzas mediante un método de probabilidad máxima. Esto de forma iterativa filtro de la serie completa (dependiendo de su rutina de optimización) y proporcionar los mejores valores de $Q_{t}$ (e $H_{t}$ si se requiere).

Answer 2

Consiguió una respuesta de un profesor de mi universidad en esto que creo que tiene sentido:

"... se trata de superposición de ancho de banda. La línea 'señal' tiene muy baja (casi cero) BW. Me atrevería a decir que, eran su AR(1) ruido que alfa de parámetro BW ~ 0,98-0,99 encontrará una diferencia más notable... "