Sabemos que la secuencia de $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es uniformemente acotada, es decir, tenemos $|\varphi_n|_\infty \le M$ para todos los $n \in \mathbb{N}$ para algunos $M>0$ independiente del índice de $n$. Por otra parte, podemos escribir la $B_n:= \{\varphi_n \ne 0 \}$ y dejar $$X := \bigcup_{n=1}^\infty B_n.$$ Note that $X$ is open and not empty. In fact, we have $B_n \neq \emptyset$ for all $n \in \mathbb{N}$, because of $\int_0^1 \varphi_n(t) \, dt \ge c$. In particular, $0< \lambda(X) \le 1$. (Moreover, $X$ es un Baire-espacio como un subconjunto abierto de un espacio métrico completo. Pero no vamos a necesitar esto.)
Definir
$$h(x) := \sum_{k=1}^\infty c_k \varphi_k(x).$$
Esta serie es pointwise convergente, como se supone, y por lo tanto medibles. Vamos $$A_n := \{x \in X : n < h(x) \le n+1\}$$ and note that $X = \bigcup_{n=1}^\infty A_n$.
Por $\sigma$-aditividad de la medida, tenemos
$$ \lambda(X) = \sum_{k=1}^\infty \lambda(A_k).$$
Por lo tanto la serie es convegent y se encuentra que para algunos $N \in \mathbb{N}$que
$$\sum_{k=N}^\infty \lambda(A_k) < \frac{c}{2M}.$$
Set $Y:= \bigcup_{k=1}^N A_k$. Tenga en cuenta que para cualquier $x \in Y$ tenemos $|h(x)| \le N+1$ e $\lambda(X \setminus Y) < c/(2M)$. Por lo tanto, tenemos
$$\int_Y \varphi_n(x) \,dx \ge c- \int_{X \setminus Y} \varphi_n(x) \,dx \ge \frac{c}{2}.$$
La monotonía teorema de convergencia implica ahora
$$\frac{c}{2} \sum_{n=1}^\infty c_n \le \sum_{k=1}^\infty c_k \int_Y \varphi_k(x) \, dx = \int_Y \sum_{k=1}^\infty c_k \varphi_k(x) \, dx = \int_Y h(x) \, dx \le N+1.$$
Así, la serie en la última ecuación es convergente.
