"¿Hay algún sentido en el que incluso a pesar de que cualquier sistema de notación no puede llegar a $ω_{CK}$, existe una jerarquía de los sistemas de notación, de modo que cuando usted toma de la "unión", de hacer llegar?"
En un cierto sentido preciso, la respuesta a esto está en negativo (en un sentido trivial. Pero es un estándar de hecho, sin embargo.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una función computable cuya salida se interpreta como el índice de los programas de codificación bien las órdenes de $\mathbb{N}$. Así, por ejemplo, supongamos que un número $x\in \mathbb{N}$ representa el índice de un programa (de $\mathbb{N}^2$ a $\{0,1\}$) que describe un orden (de $\mathbb{N}$) con el fin de tipo $\alpha \in \omega_{CK}$. Luego dicen que escribimos $[x]=\alpha$ para indicar este hecho. Si $x$ no describe bien el fin de, a continuación, supongamos que escribes $[x]=\omega_{CK}$.
(Yo sólo arbitrariamente dug-esta $[x]$ terminología, no es estándar, o cualquier cosa)
Ahora tenemos una versión más precisa de la declaración anterior. Decimos que para cada función computable $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ si se cumple la condición siguiente:
para todos los $x\in \mathbb{N}$, tenemos $[f(x)]<\omega_{CK}$
A continuación, debemos tener:
$\mathrm{sup}\,\{\,[f(x)]\,:\,x \in \mathbb{N}\}<\omega_{CK}$
La prueba de esto es bastante fácil de curso.
Una versión determinada de esto también se debe mantener para $\mathcal{O}$ creo (no estoy muy familiarizado con esto de una buena manera, aunque). En el sentido de que para cada función computable $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ si se satisface la condición:
para todos los $x\in \mathbb{N}$, tenemos $f(x) \in \mathcal{O}$ e $|f(x+1)|_{\mathcal{O}}>|f(x)|_{\mathcal{O}}$
A continuación, debemos tener:
$\mathrm{sup}\,\{\,|f(x)|_{\mathcal{O}}\,:\,x \in \mathbb{N}\}<\omega_{CK}$
Esto realmente sigue directamente de la definición misma de $\mathcal{O}$, junto con el resultado(s) (realmente necesito para el estudio de estos en algún momento) en que se describe el hecho de que el conjunto de los números ordinales descrito por $\mathcal{O}$ son precisamente los que están por debajo de $\omega_{CK}$.
No sé si la condición de $|f(x+1)|_{\mathcal{O}}>|f(x)|_{\mathcal{O}}$ se puede quitar o no (supongo que yo soy muy tonto para no saber esto).
Hay un poco forma alternativa de mirar a su pregunta. Cada función normal $f:\omega_1 \rightarrow \omega_1$ ha $\omega_1$ muchos puntos fijos. En el estándar de la teoría de conjuntos, sin duda cierto en virtud de la elección (no comentar sobre el caso no estoy completamente seguro acerca de). En particular, podemos suponer que tenemos una (total) de la función de $F:\omega_1 \rightarrow \omega_1$ enumeración de puntos fijos de $f$.
Ahora, como de costumbre, creo que podemos cambiar a una versión explícitos de $F$ en el sentido de que: $(1)$ Definir $F(0)$ $(2)$ Definir $F(x+1)$ en términos de $F(x)$ $(3)$ Definir $F(x)$ para algún valor límite de $x$. Por ejemplo, siguiendo este esquema, las siguientes fórmulas, creo, debe ser una descripción precisa de $F$:
$(1)$ $F(0)=\mathrm{sup}\{\,f^n(0):n \in \mathbb{N}^+\}$
$(2)$ $F(x+1)=\mathrm{sup}\{\,f^n(F(x)+1):n \in \mathbb{N}^+\}$
$(3)$ Cuando $x$ es un límite que hemos: $F(x)=\mathrm{sup}\{\,F(\alpha): \alpha<x\}$
Hay un punto interesante en todo esto. Si hay un fijo computable descripción (debe hacerse un poco más preciso) de la orden de $f(x+1)$ en términos de bien-orden de $f(x)$, e $\alpha<\omega_{CK}$, $f(0)<\omega_{CK}$, entonces podemos mostrar de manera explícita que $F(\alpha)<\omega_{CK}$.
Esto es muy relevante desde el punto de vista de esta pregunta. En el muy menos, esto ya se asegura de que siempre que una función normal $f$ es de cierta forma (creo que las condiciones en las $f$ puede ser más relajado) esto garantiza que $F(0)<\omega_{CK}$ \begin{array}{ccc}
\ N&A&B \\
0&0&0 \\
&2&4 \\ \\
1&0&1 \\
&3&4 \\ \\
2&0&2 \\
3&0&3 \\
&1&2 \\
&4&5 \\ \\
4&0&4 \\
5&0&5 \\
&2&3 \\
\end$F(0)$ ser el primero de punto fijo de $f$.
