Esto no es del todo cierto como se indica: el número de puntos debe ser $\prod_{i=2}^n (a_i+1)$ y se debe exigir que la característica de $k$ no dividir ninguna $a_i+1$ .
Si $x_1 = 0$ entonces $x_i=0$ para todos $i\leq n$ , ya que cada ecuación se convierte en $x_i^{a_i+1}=0$ . Así que podemos suponer que $x_1\neq 0$ y por lo tanto $V(I)$ se encuentra en su totalidad en $D(x_1)$ . Así que podemos deshomogeneizar con respecto a $x_1$ al establecer $t_i=\frac{x_i}{x_1}$ y trabajar en el problema afín de determinar qué $V(t_n^{a_n+1}-1,t_{n-1}^{a_{n-1}+1}-1,\cdots,t_2^{a_2+1}-1)$ es. Como $k$ es algebraicamente cerrado y $\operatorname{char} k$ no divide $a_i+1$ para cualquier $i$ cada ecuación tiene $a_i+1$ soluciones distintas (aquí utilizamos que el polinomio $t_i^{a_i+1}-1$ es separable). Así que hay $\prod_{i=2}^n (a_i+1)$ soluciones distintas para todo el sistema.
Cuando $\operatorname{char}k=p$ no divide $a_i+1$ se quita $a_i+1$ del producto y lo sustituye por $\frac{a_i+1}{p^{b_i}}$ donde $b_i$ es la máxima potencia de $p$ que divide $a_i+1$ . (Si se trabaja desde el punto de vista del esquema, estos se convierten en puntos gordos, por lo que en cierto sentido el número correcto de puntos sigue estando ahí).
