Si$A$ es invertible y$A^n$ es diagonalizable, entonces$A$ es diagonalizable.

Question

Estoy tratando de entender una prueba presentados en esta página de la Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix

La reclamación es el siguiente:

Deje $A$ ser una matriz de más de $F$. Si $A$ es diagonalizable, entonces también lo es cualquier poder. Por el contrario, si $A$ es invertible, $F$ es algebraicamente cerrado, y $A^n$ es diagonalizable para algunos $n$ que no es un múltiplo entero de la característica de $F$, a continuación, $A$ es diagonalizable.

Esta es la prueba:

Si $A^n$ es diagonalizable, entonces $A$ es aniquilada por algunos polinomio ${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$, que no tiene raíces múltiples (desde ${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0})$ y se divide por el polinomio mínimo de a$A$.

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Aquí están mis preguntas:

(a) ¿por Qué es claro que $A$ es aniquilada por que el polinomio? $A$ sin duda es aniquilada por $(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_k)$ e $A^n$ es aniquilada por $(x-\lambda_1^n)\cdots(x-\lambda_k^n)$ (como potencias de matrices tienen poderes de autovalores como sus autovalores), pero no veo la conexión a la Wikipedia.

(b) ¿Qué nos dice que no hay raíces múltiples? Para mí es claro que $\lambda_j\neq0$ ($A$ es invertible implica $A^n$ es invertible implica $A^n$ no ha $0$ como un autovalor), pero ¿por qué no dos de las $\lambda_j$'s ser igual? Lo que dice que tenemos distintos autovalores?

(c) Cualquier polinomio que aniquila una matriz sin duda es un múltiplo de la mínima polinomio...pero, ¿por qué nos dice esto de que $A$ es diagonalizable?

(d) Anteriormente en el artículo, la siguiente es reclamado: Una matriz lineal o mapa es diagonalizable sobre el campo $F$ si y sólo si su polinomio mínimo es un producto de distintos factores lineales de más de $F$. Si preguntas (a) y (b) están resueltas, puedo ver cómo esto implicaría (c), pero ¿por qué es esta afirmación verdadera?

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Aquí es otro enfoque para este problema, pero esto parece ser más complicado de lo que se presenta en la Wikipedia. Energía positiva de una invertible la matriz con entradas complejas es diagonalizable sólo si la matriz es diagonalizable.

Answer 1

Ese pasaje fue escrito por un usuario con un nombre de usuario Japonés "TakuyaMurata". Supongo que lo que quería decir en realidad era esto: supongamos $F$ es algebraicamente cerrado de campo y $n>0$ no es un múltiplo entero de $\operatorname{char}(F)$. Si $A$ es invertible y $A^n$ es diagonalisable más de $F$, entonces:

1. $f(x)=(x^n-\lambda_1)\cdots(x^n-\lambda_k)$ aniquila $A$, donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ son los distintos valores propios de a$A^n$.
2. Desde la $\lambda_i$s son distintos, $x^n-\lambda_i$ e $x^n-\lambda_j$ no tienen ninguna raíz común cuando se $i\ne j$. Como $g(x):=x^n-\lambda_i$ e $g'(x)=nx^{n-1}$ no tienen raíces comunes (debido a $\lambda_i\ne0$ e $n\ne0$ --- hemos utilizado la hipótesis de que $A$ es invertible y $n$ no es un múltiplo entero de $\operatorname{char} F$ aquí), podemos ver que $f$ no tiene ningún múltiples raíces.
3. Como el polinomio mínimo $m(x)$ de $A$ divide $f(x)$, $m$ también no tiene ningún múltiples raíces.
4. Por lo tanto, $m$ es un producto de distintos factores lineales (tenga en cuenta que $m$ se divide debido a $F$ por supuesto es algebraicamente cerrado). Por lo tanto $A$ es diagonalisable más de $F$.

Answer 2

https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_(linear_algebra)

cita: An endomorphism φ of a finite dimensional vector space over a field F is diagonalizable if and only if its minimal polynomial factors completely over F into distinct linear factors. The fact that there is only one factor X − λ for every eigenvalue λ means that the generalized eigenspace for λ is the same as the eigenspace for λ: every Jordan block has size 1.

Algunas justificaciones aquí: https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/mínima.pdf

Dado que se supone $A^n$ diagonalisable, tiene una mínima polinomio $\mu(x)=\prod(x-\lambda_i)$ con distintos $\lambda_i$ que satisface $\mu(A^n)=0$

Pero $\mu(A^n)=0$ también significa que $M(A)=0$ donde $M(x)=\prod(x^n-\lambda_i)$ o, equivalentemente, $M(x)=\mu(x^n)$.

Ahora bien, si el $\lambda_i=r_ie^{i\theta_i}$ son distintos, a continuación, lo son sus k-raíces.

De hecho, $(\lambda_1)^{1/n}=(\lambda_2)^{1/n}\implies\begin{cases} r_1=r_2\\ \frac{\theta_1+2n_1\pi}n=\frac{\theta_2+2n_2\pi}n+2m\pi\end{cases}\implies\begin{cases} r_1=r_2\\ \theta_1=\theta_2\pmod{2\pi}\end{cases}\implies \lambda_1=\lambda_2$

(Obtenemos el resultado por contraposición).

Considerando ahora el polinomio mínimo de a$A$, se ha de dividir a la $M(x)$, pero acabamos de ver que a causa de las hipótesis realizadas en $F$que $M$ está completamente dividida, y todos los lineales de los factores son distintos.

Volviendo a la cita en el principio, esto significa que $A$ sí debe ser diagonalisable.