Para todos los $n>1$ hay positivo $a+b=n$, que $a+ab+b\in\mathbb P$

Question

Para todos los enteros $n>1$ existen enteros positivos $a,b$ tal que $a+b=n$ que $a+ab+b\in\mathbb P$. Probado para todas las $n\leq 1,000,000$. Esperemos que alguien puede explorar y explicar el heurísticas sobre esta conjetura.

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Esta pregunta está relacionada con:
Cualquier número impar es de la forma $a+b$ donde $a^2+b^2$ es el prime
Cada potencia de dos surgir como la diferencia de dos números primos?
La mayoría de los números pares es una suma $a+b+c+d$ donde $a^2+b^2+c^2=d^2$
Números naturales lo suficientemente grande como puede ser escrito como $ab+ac+bc$ para algunos $a,b,c>0$
$\{a+b|a,b\in\mathbb N^+\wedge ma^2+nb^2\in\mathbb P\}=\{k>1|\gcd(k,m+n)=1\}$
Incluso los números que tiene la forma de $a+b$ donde $\frac{a^2+b^2}{2}$ es el prime
Es cada entero positivo mayor que $2$ la suma de un primo y dos plazas?

Se trata de una relación $R\subseteq \mathbb N^m$, una función $f:\mathbb N^m\to \mathbb N$, y una imagen de una restricción $\operatorname{Im}(f|R)$.
En Goldbachs conjetura de la relación es $p,q\in\mathbb P$, la función es $(p,q)\mapsto p+q$ y la imagen de la restricción es $2\mathbb N\setminus\{2\}$.

Tal vez algunas de las conjeturas pueden ser generalizados?

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial. La reformulación de acuerdo con el comentario de Crostul, queremos encontrar a $AB-1 \in \mathbb P$. Otros que incluso prime $2$, todos los números primos son impares, de modo que al menos uno de $A,B$ debe ser par. Para $A+B=N,\ N\ge 6$, cualquier primer generado tendrá la forma de $6m\pm 1$. Por lo que es necesario (pero no suficiente) para cada $N$, hay algunos $A,B$ tal que $AB-1=6m\pm 1$ de la conjetura para ser verdad.

$AB-1=6m\pm 1\Rightarrow AB\equiv (0,2) \mod{6}$. Cualquier $N\ge 6$ se puede dividir en dos sumandos con esa propiedad. La tabla siguiente muestra los valores de los residuos de $\mod{6}$ para $N,A,B$ que satisfacer $N=A+B\mod{6}$ e $AB\equiv (0,2) \mod{6}$ (hasta el orden de $A,B$).

$$\begin{array}{ccc} \ N&A&B \\ 0&0&0 \\ &2&4 \\ \\ 1&0&1 \\ &3&4 \\ \\ 2&0&2 \\ 3&0&3 \\ &1&2 \\ &4&5 \\ \\ 4&0&4 \\ 5&0&5 \\ &2&3 \\ \end{array}$$

Esto demuestra que cualquier $N$ se puede dividir en sumandos $A,B$ tal que $AB\equiv (0,2) \mod{6}$. En cada caso, es posible obtener sumandos tales que $AB\equiv 0 \mod{6}$. Curiosamente, sólo para $N\equiv (0,3)\mod6 \Rightarrow N\equiv 0 \mod3$ es posible obtener sumandos tales que $AB\equiv 2 \mod{6}$. Esto significa que $AB-1$ puede generar números de la forma $6m-1$ desde cualquier $N$, pero puede generar números de la forma $6m+1$ sólo si $N\equiv 0\mod3$. Permanece abierto en este punto si los números de la forma $6m\pm 1$ obtenido a partir de un determinado $N$ será necesariamente cuentan con un primo.

Answer 2

Idea: Que $$a+b+ab =p\in \mathbb{P}$$

a continuación, $$n = {a^2+p\over a+1}= a-1+{p+1\over a+1}$$

Así que si tomamos estas $p$ e $a$ que $a+1\mid p+1$ e $a<n$ entonces $b={p-a\over a+1}$.

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La pregunta aquí es si tales $p$ e $a$ siempre existen.