[Por conveniencia de notación, no voy a distinguir entre los elementos de las $\mathbb{Z}_6[x]$ y sus imágenes en el cociente de los anillos. Por ejemplo, voy a escribir los elementos de $R$ como se acaba de $a_0+a_1x$ lugar de su $[a_0+a_1x]$.]
Una unidad de $R$ es sólo un elemento que no está en ninguna de máxima ideal, por lo que es suficiente para identificar a la máxima ideales. Si $M\subset R$ es un ideal maximal, entonces $M$ contiene $2$ o $3$, desde el $2\cdot 3=0$ en $R$. Del mismo modo, cualquiera de las $x\in M$ o $x+2\in M$.
Si $2\in M$, entonces en cualquier caso obtenemos $x\in M$. Pero $M=(2,x)$ ya es un ideal maximal, con cociente $R/M\cong \mathbb{Z}_2$ (correspondiente a la homomorphism $\mathbb{Z}_6[x]\to\mathbb{Z}_2$ envío de $f(x)$ a $f(0)$ mod $2$), por lo $(2,x)$ es el único ideal maximal que contiene a$2$.
Si $3\in M$, entonces tenemos dos posibilidades diferentes, $M=(3,x)$ o $M=(3,x+2)$. Estos son los dos máximos ideales con cociente $\mathbb{Z}_3$ (el primero corresponde a la homomorphism $\mathbb{Z}_6[x]\to \mathbb{Z}_3$ envío de $f(x)$ a $f(0)$ mod $3$ y el segundo corresponde a la homomorphism $\mathbb{Z}_6[x]\to \mathbb{Z}_3$ envío de $f(x)$ a $f(-2)$ mod $3$).
Así, las unidades son sólo los elementos de $R$ que no están en $(2,x)$, $(3,x)$ o $(3,x+2)$. Para un elemento $a+bx\in R$ no $(2,x)$ o $(3,x)$ significa que $a$ no es divisible por $2$ o $3$ (por lo $a$ es $1$ o $5$). Para $a+bx$ no $(3,x+2)$ significa que $a-2b$ no es divisible por $3$.
