Convergencia de la suma de secuencias

Question

Esta semana, he aprendido un poco más acerca de los límites, la convergencia y la divergencia. Me dieron una suma de dos secuencias y le pidió que le contara si es o no es convergente, y cuál es su límite es:

$a_n := (-1)^n + \frac{1}{n^2 +1}$

que me re-escribió en

$\lim_{n\to \infty}(-1)^n +\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2 +1}$

Me di cuenta de que $\lim_{n\to \infty}(-1)^n$ no es convergente, mientras que el segundo es convergente y tiene el límite de $0$. Es por eso que no estoy del todo seguro de si $a_n$ es convergente o no, y se confundió.

Espero que alguien pueda aclarar mis dudas y explicar su respuesta para mí! Gracias.

Answer 1

Usted debe mirar la situación global en lugar de centrarse en el ejemplo concreto.

La suma de una secuencia convergente y una divergente diverge. Si este fuera el caso la diferencia de la suma y de la secuencia convergente convergerían. No puede ser ya que es igual a la secuencia divergente.

Answer 2

Que tener en cuenta

• n impar <span class="math-container">$\implies a_n := (-1)^n + \frac{1}{n^2 +1} \to -1$</span>
• incluso n <span class="math-container">$\implies a_n := (-1)^n + \frac{1}{n^2 +1} \to 1$</span>

¿Qué podemos concluir, recordando para una secuencia convergente de todos el subsequence que convergen al mismo límite?

Answer 3

Que <span class="math-container">$u_n=(-1)^n$</span> y <span class="math-container">$v_n=\frac{1}{n^2+1}$</span>.

<span class="math-container">$(un)$</span> es divergente desde <span class="math-container">$$\lim u{2n}\ne \lim u_{2n+1}$ $</span>

<span class="math-container">$(v_n)$</span> es convergente puesto que

<span class="math-container">$$\lim v_n=0.$$</span>

la suma de una secuencia convergente y una divergente es DIVERGENT.