Hola estoy tratando de probar esta congruencia:
$$P(7n+5)\equiv 0 \pmod{7}$$
Con el fin de hacer lo que he hecho lo siguiente:
Tenemos que
$\displaystyle\sum_{n\geq0}\;P(n)q^{n}=\frac{1}{(q;q)_{\infty}}$
multiplicamos por $q^{2}$ luego
\begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{n\geq0}\;P(n)q^{n+2}&=&\frac{q^{2}}{(q;q)_{\infty}}\\ &=& \frac{q^{2}((q;q)^{3}_{\infty})^{2}}{(q;q)_{\infty}^{7}} \end{eqnarray}
Por lo tanto el coeficiente de $q^{7n+7}$ en el LHS es $P(7n+5)$ por lo tanto, tenemos que comprobar que el coeficiente de $q^{7n+7}$ de $ \frac{q^{2}((q;q)^{3}_{\infty})^{2}}{(q;q)_{\infty}^{7}}$ es $\equiv 0(mod \; 7)$.
Ahora tenemos que $(q;q)^{3}_{\infty}=\displaystyle\sum_{n\geq0} (-1)^{n}(2n+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}}$, por lo tanto
\begin{eqnarray} q^{2}((q;q)^{3}_{\infty})^{2}&=&(q(q;q)^{3}_{\infty})^{2}\\ &=& \displaystyle \sum_{n,m \geq0} (-1)^{n}(2n+1)(2m+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}+\frac{m(m+1)}{2}+2} \end{eqnarray}
Ahora vamos a ver cuando $\frac{n(n+1)}{2}+\frac{m(m+1)}{2}+2$ es un mutiply de $7$
Tenga en cuenta que $$(2n+1)^{2}+(2m+1)^{2}=8\left(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{m(m+1)}{2}+2\right)-14$$
A continuación, $\frac{n(n+1)}{2}+\frac{m(m+1)}{2}+2\equiv 0(mod\;7)$ si y sólo si $(2n+1)^{2}+(2m+1)^{2}\equiv0(mod \;7)$ sólo si $(2n+1)^{2}\equiv0(mod \;7)$ e $(2m+1)^{2}\equiv0(mod \;7)$ Entonces $2n+1\equiv0(mod \;7)$ e $2m+1\equiv0(mod \;7)$.
Por lo tanto el coeficiente de $q^{7n+7}$ en $q^{2}((q;q)^{3}_{\infty})^{2}$ es múltiplo de 7.
No sé si es correcta esta idea y también no sé cómo hacerlo para $\frac{1}{(q;q)^{7}_{\infty}}$. Creo que puedo usar $$\frac{1}{(1-q)^{7}}\equiv \frac{1}{1-q^{7}}(mod\;7)$$ so that I can have $$\frac{1}{(q;q)^{7}_{\infty}}\equiv\frac{1}{(q^{7};q^{7})_{\infty}}(mod\; 7 )$$
Pero no sé cómo proceder con esto. Yo le agradezco cualquier sugerencia que me puedan dar.
Gracias por su tiempo!
