Serie de Taylor con un punto base diferente de$0$

Question

¿Cuál es la necesidad de $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}$ si ya tenemos la fórmula en $0$ ?
¿No es el $(x-a)$ solo el $a$ como el nuevo origen?
¿Cuándo es esta fórmula más útil que eso en $0$ ?

Answer 1

Algunas funciones, como $\frac1x$o $\ln x$, no tiene un desarrollo en serie de Taylor centrada en torno a $0$. Alrededor de $1$, por otro lado, tenemos $$ \frac1x = 1-(x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + \cdots\\ \ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots $$

Algunas veces, usted está interesado en la aproximación de una función de valor en algún punto de $x_0$, lo cual está lejos de $0$, pero cerca de algún otro punto de $a$ donde se sabe que los coeficientes. Por ejemplo, la búsqueda de $\sin(6.27)$ usando la serie de Taylor de $\sin$ centrado en $2\pi$ va a ir mucho más rápido que usando el uno centrado en $0$.

Answer 2

Si va a utilizar polinomios de Taylor para calcular, por ejemplo, una aproximación de $\sqrt{4+\frac15}$ , lo que necesitará es la serie de Taylor de $\sqrt x$ centrada en $4$ , no centrada en $0$ (que, por cierto, no existe, ya que $\sqrt x$ ni siquiera es diferenciable allí).