Encuentre el coeficiente de $x^{70}$ en $(x^1-1)(x^2-2)(x^3-3)\cdots(x^{12}-12)$ .

Question

Encuentre el coeficiente de $x^{70}$ en $(x^1-1)(x^2-2)(x^3-3)\cdots (x^{12}-12)$ .

Traté de resolver este problema utilizando la teoría de la ecuación el coeficiente de $x^{70}$ será la suma de productos tomando dos a la vez. Pero esto muy muy exhaustivo quiero saber algún otro método ya que será competente en potencias superiores.

Answer 1

$$1+2+\ldots+12=\frac{12\times 13}{2}=78$$

• $78-8=70$ da la contribución de $-8$

• $78-7-1=70$ da $(-7)(-1)$

• $78-6-2=70$ da $(-6)(-2)$

• $78-5-3=70$ da $(-5)(-3)$

• $78-5-2-1=70$ da $(-5)(-2)(-1)$

• $78-4-3-1=70$ da $(-4)(-3)(-1)$

¿Puede continuar?

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Answer 2

Desde $1+2+3+\ldots+12=78$ El término $x^{70}$ debe surgir de la toma de $x^k$ de $(x^k-k)$ para casi todos los $k\in\{1,2,\ldots,12\}$ , excepto en el caso de algunos $j_1,j_2,\ldots,j_r\in\{1,2,\ldots,k\}$ tal que $j_1<j_2<\ldots<j_r$ y $j_1+j_2+\ldots+j_r=8$ . Hay muy pocas tuplas de este tipo $(j_1,j_2,\ldots,j_r)$ :

• para $r=1$ , $j_1=8$ ;

• para $r=2$ , $(j_1,j_2)=(1,7),(2,6),(3,5)$ ;

• para $r=3$ , $(j_1,j_2,j_3)=(1,2,5),(1,3,4)$ .

Por lo tanto, el coeficiente de $x^{70}$ es $$(-1)^1\cdot 8+(-1)^2\cdot (1\cdot 7+2\cdot 6+3\cdot 5)+(-1)^3\cdot(1\cdot 2\cdot 5+1\cdot 3\cdot 4)=4\,.$$

Answer 3

Para cualquier serie formal de Laurent $f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k z^k$ en cualquier variable $z$ , dejemos que $[z^k]f(z)$ sea una abreviatura del coeficiente $a_k$ .

Dejemos que $y = x^{-1}$ podemos simplificar el coeficiente en cuestión como

$$\begin{align}\mathcal{C} \stackrel{def}{=} [x^{70}]\prod_{k=1}^{12}(x^k-k) &= [x^{70}]x^{78} \prod_{k=1}^{12}(1-kx^{-k}) \\ &= [y^8]\prod_{k=1}^{12}(1-ky^k) = [y^8]\prod_{k=1}^8(1-ky^k)\end{align}$$

Podemos dividir el último producto en dos partes

$$\begin{align}\prod_{k=1}^3 (1-ky^k) &= (1-y)(1-2y^2)(1-3y^3) = (1-y-2y^2+2y^3)(1-3y^3)\\ &= 1-y-2y^2-y^3 + 3y^4 +6y^5 - 6y^6\\ \prod_{k=4}^8 (1-ky^k) &= 1 - 4y^4 - 5y^5 - 6y^6 - 7y^7 - 8y^8 + O(y^9) \end{align}$$ Desechar los términos que no contribuyen a $[y^8]$ obtenemos $$\begin{align}\mathcal{C} = &\; [y^8]\big((1-y-2y^2-y^3+3y^4)(1-4y^4-5y^5-6y^6-7y^7-8y^8)\big)\\ = &\; (1)(-8) + (-1)(-7) + (-2)(-6)+(-1)(-5)+(3)(-4)\\ = &\; -8 + 7 + 12 + 5 - 12\\ = &\; 4\end{align}$$

Answer 4

Si multiplicamos las potencias de $x$ obtenemos $x^{1+...+12}=x^{78}.$ Buscamos la forma de multiplicar los poderes de $x$ para obtener un resultado de $x^{70}$ . Obsérvese que hay que quitarle 8 a 1+...+12. Algunas formas de hacerlo son 1+...+7+9+...+12, 1+3+...+5+7+...+12, 3+4+6+...+12. Estos contribuirán con -8, (-2)(-6),(-1)(-2)(-5) (de forma aditiva) al coeficiente que se busca. Ahora tenemos que encontrar el resto.

Lo que buscamos son las llamadas particiones de 8 (sin números repetidos).

Answer 5

$\prod\limits_{i=1}^n (a_i + b_i) = \sum\limits_{s\in \{0,1\}^n}[ \prod\limits_{i=1}^n \begin{cases} a_i & \text{if }s_i =0\\b_i &\text{if }s_i = 1\end{cases}]$

(Eso es confuso escrito por espero que sea claro. $\prod\limits_{i=1}^n (a_i + b_i)$ será la suma de los productos cuando se elija $a_i$ o $b_i$ para cualquier combinación).

Así que $\prod\limits_{i=1}^{12} (x^i - 1)= \sum\limits_{K\subset \{1,2,...,12\}} (\prod_{i\in K}x^i\prod\limits_{j\not \in K} (-j))=$

$=\sum\limits_{K\subset \{1,2,...,12\}}( x^{\sum\limits_{i\in K} i}\prod\limits_{j\not \in K} (-j))=$

$\sum\limits_{k=0...78} x^k(\sum\limits_{K\subset\{1,...,12\}| \sum\limits_{j\in K} j = k}\prod\limits_{m\not \in K}(-m))$

Es decir, para todas las formas de añadir $1,...., 12$ para conseguir $70$ el coeficiente será la suma de los productos de los negativos de todos los otros números.

Y como las formas de sumar $70$ es precisamente la forma de omitir todos los números que suman $8$ el coeficiente será la suma de los productos de los negativos de todas las formas de sumar números para obtener $8$

es decir $(-8) + (-1*-7) + (-2*-6) + (-3*-5) + (-1*-2*-5)+(-1*-3*-4)=$

$-8 + 7 + 12 + 15 -10 - 12 = 4$ .

Y... Probablemente cometí un horrible error. ¿No es así?

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en otras palabras: $(x-1)(x^2 - 2).....(x^{12} - 12) =x^1x^2...x^{12}+ .... +x^{1}x^2...x^{7}x^9...x^{12}(-8) + x^2x^3...x^6,x^7..x^{12}(-1)(-7) + ..... +(-1)(-2)...(-12)=x^{78} + ...... +x^{70}(-8 + (-1)(-7)+.......)+.....+12!$