Determinando el dominio de un polinomio con exponentes racionales

Question

Me he confundido por completo al determinar el dominio de las expresiones polinómicas que tienen potencias racionales, por ejemplo, $$y = x^{2/3} \qquad \text{o} \qquad y_2 = (x^2-1)^{2/ 3}.$$

Un libro de cálculo que consulté afirma que el dominio de $y_2$ son todos los valores reales de $x$; sin embargo, al graficar la función usando Grapher o Wolframalpha, excluye los valores para $-1 \leq x \leq 1$:

De manera similar, cuando intento usar Wolfram para evaluar $(-4)^{2/ 3}$ devuelve un número complejo, mientras que yo esperaría un valor real (pensaba que podíamos pensar en esto como $(-4)^{2/ 3} = \big((-4)^2\big)^{1/ 3} = (16)^{1/ 3} = \sqrt[3]{16}$, que pensé que era lo mismo que $\big( (-4)^{1/ 3} \big)^{2} = (-\sqrt[3]{4})^{2} = \sqrt[3]{4}^2$

Consulté esta pregunta, que aclaraba que la propiedad $a^{bc} = (a^b)^c$ solo se aplica a todos los $a$, si $b$ $c$ son números enteros (de lo contrario, debemos asumir que $a > 0$), pero aún no entiendo cómo puedo determinar el dominio de estas funciones, dada la discrepancia entre mi libro de texto y lo que encuentro con aplicaciones de graficación.

¡Cualquier aclaración sería muy apreciada!

PD. No pude determinar cuál de las etiquetas "dominio" era apropiada, no vi nada como "dominio de una función" y la mayoría dice que no se debe usar para este propósito.

---

Edición

Acabo de consultar un tercer libro de texto que incluye la siguiente afirmación:

Para todos los números reales $a$ para los cuales existen las raíces indicadas, y para cualquier número racional $m/n$, $$a^{m/n} = (a^{1/n})^m$$.

Esto me llevó a intentar graficar la función como $y_2 = \big((x^2-1)^{1 /3}\big)^2$; sin embargo, esto dio el mismo resultado que antes (es decir, excluyendo -1 < x < 1).

En Wolfram, intenté y = (raíz-cúbica(x^2-1))^2 y esto dio el mismo gráfico que el proporcionado por mi libro de texto.

Debo admitir que estoy un poco confundido acerca de por qué $y_2 = \big((x^2-1)^{1 /3}\big)^2$ no resolvió el problema. Si eso hubiera funcionado, me habría hecho (algo) sentido.

Answer 1

Creo que el problema aquí es la definición de números negativos elevados a potencias racionales que utiliza Wolfram o tu software de gráficos. Una definición sólida de exponenciales que se usa en la mayoría de los software porque se generaliza a los números complejos es: $$a^b := \exp({b\ln a}),$$ donde $\exp x=e^x$, y en el caso en que $a$ sea complejo, $\ln$ es el logaritmo principal. El problema ahora es cuando intentas evaluar algo como $(-1)^{2/3}$. Si usamos la definición tenemos $$(-1)^{2/3}=\exp\left(\frac23\ln(-1)\right),$$ lo cual claramente no tiene sentido en $\mathbb R$ (el $\ln$ de un número negativo no está definido). Por lo tanto, para responder a tu pregunta, la razón por la que Wolfram piensa que $(-1)^{2/3}$ está indefinido es debido a la definición sólida para la exponentiación, que da a $(-1)^{2/3}$ como un número complejo.

Answer 2

Cuando se trata de potencias fraccionarias de números negativos, Wolfram Alpha prefiere tomar la rama compleja, de modo que ni (-1)^(1/3) ni (-1)^(2/3) se consideren reales.

Por supuesto, ((-1)^2)^(1/3) dará el resultado esperado, pero también puedes forzar la rama real con (cubicroot(-1))^2.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(cubicroot(x%5E2-1))%5E2;(x%5E2-1)%5E(2%2F3)%5E2;(x%5E2-1)%5E(2%2F3))

Answer 3

El hecho es que algebraicamente

$$(-4)^{\frac23}=2\sqrt 2$$

pero cuando consideramos la función

$$f(x)=(f(x))^r$$

el dominio para $f(x)$ está restringido para $f(x)>0$ o $f(x)\ge0$ para evitar expresiones indefinidas, incluso si la función también puede definirse para algunos valores particulares de $f(x)< 0$.

Consulte también los siguientes enlaces relacionados

• Dominio de la composición de funciones
• Encontrar el dominio de $ f(x) ^ {g(x)} $?