¿Pueden las raíces de un polinomio permanecer en un lado del plano complejo al variar los coeficientes?

Question

Supongamos un $n^{\text{th}}$ polinomio mónico de grado $$ p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0,$$ con un vector de coeficientes $a = (a_{n-1}, \dots , a_0) \in \mathbb R^n$ . Consideremos ahora una familia parametrizada \begin{align*} p(x, r) = x^{n} + ra_{n-1} x^{n-1} + \dots + ra_0, \end{align*} con $r \in \mathbb R$ .

Supongamos que $r_0 \in \mathbb R$ tenemos $p(i \alpha, r_0) = 0$ es decir, $p(x, r_0)$ tiene un cero en el eje imaginario. Supongamos además para algunos $\delta > 0$ tenemos $p(x, r)$ tiene todos sus ceros en el semiplano derecho de $\mathbb C$ para cada $r \in (r_0, r_0 + \delta)$ .

Mi pregunta es: ¿es posible que para todos los $r \in (r_0 - \delta, r_0)$ también tenemos $p(x, r)$ tiene todos sus ceros en el semiplano derecho (podemos incluir el eje imaginario). Es decir, ¿existe un polinomio mónico, que nos permita parametrizar como arriba, tal que la familia parametrizada tenga ceros tocando el eje imaginario pero todos los ceros estén confinados en el semiplano derecho cuando variamos $r$ continuamente?

---

Según lo comentado por @saulspatz, $x^2 + r$ tendrá todos sus ceros en el eje imaginario si $r < 0$ . Yo estaba en mente pidiendo el caso de que al menos existe alguna $r \in (r_0 - \delta, r_0)$ tal que algunas de las raíces de $p(x, r)$ se desplazará fuera del eje imaginario.

Answer 1

Veo que es esencialmente la misma pregunta que otra tuya: ¿Podemos tener una raíz simple de polinomios reales con coeficientes como funciones lineales tales que la curva de la raíz sea tangente al eje imaginario? . Para quien tenga curiosidad por el resultado, dejo el enlace.