Tener problemas con el texto de topología algebraica de Tom Dieck

Question

(Una versión PDF en línea del texto de la Topología Algebraica por Tammo tom Dieck se puede encontrar aquí.)

Esta pregunta es muy suave. Estoy teniendo problemas para leer este texto. Permítanme elaborar.

He encontrado este libro demasiado formal en algunos lugares. Estoy perfectamente bien con la formalidad si hace las cosas elegantes, por ejemplo, afirma la Seifert–van Kampen teorema usando pushouts de groupoids, que yo prefiero a más de, digamos, Hatcher formulación. Sin embargo, me pierdo en la formalidad, si no conduce a ninguna "real" de los resultados. Ese es exactamente el problema con el Capítulo 4 y 5, en homotopy la teoría de la asignación de cilindros, suspensión, bucle espacio, Pupper secuencias, fibration y cofibration). Él define a las cosas y demuestra proposiciones que parecen completamente técnico, como "abstracto tonterías".

Como un ejemplo, para cofibrations se define el transporte functor (página 107, sección 5.2). Es un functor $\Pi(K,X)\to\mathsf{SET}$, donde $i:K\to A$ es un cofibration, mapa del objeto se $(f:K\to X)\mapsto[(A,i),(X,f)]^K$, y morfismos mapa define así: dado un homotopy $\varphi:K\times I\to X$, se define un mapa de $[(A,i),(X,\varphi_0)]^K\to[(A,i),(X,\varphi_1)]^K, f\mapsto\Phi_1$, donde nos elevación $\varphi$ a $\Phi:A\times I\to X$ con condición inicial $f$. Puedo seguir la lógica, pero no sé por qué nos preocupamos por un functor. El autor lo utiliza para demostrar, entre otras cosas, que una homotopy equivalencia entre cofibrations es en realidad un cofiber homotopy de equivalencia (un resultado que también se puede encontrar en Pedro de Mayo de notas). Sin embargo, ¿qué es este resultado tratando de decir? ¿Por qué deberíamos probar algo como eso?

Para ser específico, me gustaría pedir a estas preguntas:

1. Es cada resultado en tom Dieck realmente algo para ser utilizado más tarde?
2. Podría usted dar por favor presentar brevemente a mí lo que este abstracta y formal de parte de homotopy teoría está haciendo? Y ¿cuáles son algunas de las cosas interesantes que podemos demostrar con la ayuda de estos resultados formales?
3. Si quiero a la "realidad" entender estas declaraciones formales, ¿qué debo hacer? (Ahora acabo de ver declaraciones formales y argumentos formales, sin saber por qué nos preocupamos acerca de estos...)

Gracias por la ayuda!

Edit: tengo que decir que me encanta tom Dieck del estilo! Es mucho mejor que Hatcher, cuando todo es tan elegantemente formulado utilizando, por ejemplo, nociones categóricas. Es sólo que si algunos de los resultados en tom Dieck (1) es demasiado formal; (2) que no se encuentran en otros libros; (3) no tienen ningún "verdadero" sentido geométrico; (4) nunca se usa más tarde, entonces ¿por qué el autor lo incluyen?

Answer 1

Aquí están mis respuestas a algunas de tus preguntas. A mediados de 1960 me preguntaba cómo los resultados en la literatura sobre los espacios de $X$ con la punta de la base del punto de $a$ generalizada para el caso en que $a$ fue reemplazado por un subespacio cerrado $A$ tal que la inclusión $i: A \to X$ fue un cofibration. En particular, he mirado el funcionamiento del grupo fundamental en homotopy de los grupos (que Henry Whitehead había observado en mi audiencia era una fascinación a comienzos de los trabajadores en homotopy teoría) y el resultado de que un homotopy equivalencia de espacios induce un isomorfismo de homotopy grupos. Aquí el espacio así señaló el punto base es la esfera $(S^n,1)$. Para mi sorpresa, la generalización de led para un encolado teorema de homotopy equivalencias, que apareció en 1968 y ediciones posteriores del libro, que es ahora la Topología y de la Groupoids, véase la sección 7.4, 7.5.

Todas las ediciones de ese libro también tratar una idea inspirada por el trabajo de P. J. Higgins en el álgebra de groupoids, a saber, la fundamental groupoid en un conjunto $A$ de los puntos de base, el cual es discutido en las respuestas a esta mathoverflow pregunta. Esto le permite a uno a salir de cualquier suposición implícita de que todos los espacios de interés en topología se pathconnected.

12 de diciembre de 2018 Para agregar al primer párrafo: uno de los puntos de este "formal homotopy teoría" es dar a los métodos de construcción de homotopies y homotopy equivalencias, y que son sistemáticas y no ad hoc. Es razonable que tales resultados antes de dar métodos, por ejemplo, mostrando que no hay un homotopy equivalencia, excepto para decir que la conectividad de los argumentos.

El papel a N E Steenrod "Cohomology de Operaciones, y Obstrucciones para la Ampliación de Funciones Continuas*, los AVANCES EN MATEMÁTICAS 8, 371-416 (1972), es una buena introducción a algunos de los problemas básicos de la topología algebraica.