Si elegimos un subconjunto de tamaño <span class="math-container">$25$</span> del sistema: <span class="math-container">${1,2,....100}$</span> ¿cuál es la expectativa del número de pares secuenciales en el subconjunto? esperanza aún me confunde, puede alguien ayudar?
Respuestas
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aprado
Puntos
1
Que <span class="math-container">$X_i$</span> sea una variable de aleatoria indicador que <span class="math-container">$i$</span> y <span class="math-container">$i+1$</span> (<span class="math-container">$i\in {1,2,...,99}$</span>) en un subconjunto elegido.
Entonces <span class="math-container">$$ P(X_i = 1) = {{98\choose 23}\over {100\choose 25}}= {6\over 99}$$ Since <span class="math-container">$X = X1+...+X{99}$</span> we have <span class="math-container">$$ E(X) = E(X1)+...+E(X{99}) = 99{6\over 99} = 6$$</span></span>
Vamos a asignar una etiqueta $1,2 \dots 25$ (orden arbitrario) para cada uno de los números seleccionados. Deje $A_{i,j}$ con $1\le i<j \le 25$ ser $1$ si los elementos con etiquetas de $i,j$ han secuencial de valores, $0$ lo contrario.
A continuación, $X = \sum A_{i,j}$ cuenta el número de secuencia de pares, que es lo que queremos, y
$$E(X)=\sum A_{i,j}$$
Pero $E(X)=\sum E[A_{i,j}]= n_p P(A_{i,j} = 1) = n_p \frac{99}{\binom{100}{2}}$
Donde $n_p = \binom{25}{2}=300$ es el número de pares. Entonces
$$E(X) = \frac{300 \times 99} { \binom{100}{2}}=6$$
