Simple prueba de un teorema de convergencia de la serie

Question

Deje $p_j\ge0,\ j=1,2,3,\dots,$ y supongamos $\sum_j p_j=1.$ hay una prueba simple que $$\sum_{j=1}^\infty{jp_j}\tag{1}$$ converges? My question arises from the answer to this question. Consider a Markov chain with state space $\{1,2,3,\puntos\}.$ If the chain is is state $1,$ it transitions to state $j$ with probability $p_j.$ If it is in state $j>1$ then it always transitions to state $j-1$. The chain is irreducible and aperiodic, so it has a unique stationary distribution. The sum $(1)$ surge en el cálculo de las probabilidades estacionarias, por lo que deben converger.

He estado tratando sin éxito de encontrar una prueba directa. No hay alguna forma para aplicar pruebas estándar (raíz de la prueba, la prueba de razón, de Gauss, de la prueba) y no tengo otras ideas. (Es equivalente a la afirmación de que si N es una variable aleatoria que toma valores enteros positivos, entonces $E(N)$ existe, pero no veo cómo eso ayuda. De hecho, mi intuición es que esta afirmación es falsa.)

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Se ha demostrado ampliamente que la afirmación es falsa. Me gustaría saber el error en los enlaces de la pregunta.

Answer 1

La declaración es falsa. Poner <span class="math-container">$$ pj = \frac {6} {\pi^2} \frac {1} {j ^ 2} \quad (j\geq 1) $</span> donde es la constante de normalización. Que <span class="math-container">$N$</span> distribuido de acuerdo a este pmf. Entonces <span class="math-container">$$ \sum{j=1}^\infty jpj = EN = \frac {6} {\pi^2} \sum {j = 1} ^ \infty\frac {1} {j} = \infty $$</span>

Answer 2

No todos los aperiódica, irreductible procesos de Markov tienen una distribución estacionaria. Esto sólo es cierto para estados finitos espacios. Para los espacios infinitos, que necesita el proceso para ser positivos y recurrentes, lo que significa que el tiempo de espera para volver a un estado es finito. Aquí, a partir de $1$, el tiempo de espera para volver a $1$ es $\sum jp_j$. Por lo tanto, la prueba va en círculos; para que el proceso tenga una distribución estacionaria, usted necesita $\sum jp_j<\infty$, y en el fin de demostrar que, el uso que el proceso tiene una distribución estacionaria.

Cuando la lista de $(p_1,p_2,\dots)$ tiene demasiado grasa de la cola, el proceso va a resolver nunca, y en su lugar se difunden más a medida que pasa el tiempo.

Answer 3

Tenemos la serie <span class="math-container">$\displaystyle\sum{j=1}^\infty \frac{1}{j(j+1)} = 1$</span>y <span class="math-container">$\displaystyle\sum{j=1}^\infty \frac{1}{j+1}$</span> diverge, por lo que su afirmación es falsa.

Answer 4

Otro contraejemplo puede ser derivada a partir de la paradoja de San Petersburgo. Supongamos que $p_j=\frac1j$ si $j$ es una potencia de $2$, e $0$ lo contrario. A continuación, $\sum p_j = \sum 2^{-k}=1$, pero $jp_j=1$ siempre $j$ es una potencia de $2$, y por lo tanto $\sum jp_j$ diverge.

Answer 5

Se sabe <span class="math-container">$$\sum_{j=1}^\infty \dfrac{1}{j^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ $</span>

Por lo que si usted toma <span class="math-container">$pj=\frac{6}{(\pi j)^2}$</span>, <span class="math-container">$\sum{j=1}^\infty pj=1$</span> y <span class="math-container">$\sum{j=1}^\infty jpj=\frac{6}{\pi^2}\sum{j=1}^\infty\frac{1}{j}=+\infty.$</span>