Funciones armónicas limitadas en el disco

Question

Denota por $\mathbb{D}$ el disco de la unidad abierta en $\mathbb{R}^2$ . ¿Es posible encontrar un limitado función armónica $u : \mathbb{D} \to \mathbb{R}$ que no es uniformemente continua?

Intenté usar funciones que oscilan cerca de $\partial \mathbb{D}$ pero no pudo conseguir nada sustancial.

Answer 1

Para cualquier función acotada medible $f\in L^\infty(S^1)$ la integral de Poisson $P[f]$ da una función armónica acotada en $B_1$ . Esta función es continua (equivalentemente, uniformemente continua) si y sólo si $f$ es continua.

Aquí puedes encontrar qué es el núcleo de Poisson y cómo se utiliza para construir funciones armónicas en la bola.

Dicho de otra manera, $f\mapsto P[f]$ es una isometría lineal de $L^p(S^1)$ en $h^p(B_1)$ . Utilizamos el caso $p=\infty$ , donde $h^\infty(B_1)$ representa las funciones armónicas acotadas en la bola. Puedes leer más sobre ello aquí .

Answer 2

Dejemos que $\log$ denotan el valor principal $\log.$ Entonces $\log(1+z)$ es holomorfo en $\mathbb D.$ De ahí su parte imaginaria, $u(z)=\arg (1+z),$ es armónico en $\mathbb D.$ Tenemos $|u|<\pi/2$ en el disco, por lo que $u$ está acotado allí. Para los pequeños $r>0,$ $-1+re^{i\pi/4}\in \mathbb D.$ Para tales $r,$

$$u(-1+re^{i\pi/4})- u(-1+r) = \pi/4-0 = \pi/4.$$

Pero $(-1+re^{i\pi/4})-(-1+r) \to 0$ como $r\to 0.$ Esto muestra $u$ no puede ser uniformemente continua en $\mathbb D.$

Answer 3

Comienza con $$ \phi(z)=\frac{1+z}{1-z},\;\;\; z\in\mathbb{C},\; |z| < 1. $$ Esta función es holomorfa con \begin {align} \Re \phi (z) &= \Re\frac {1+z}{1-z} \frac {1- \overline {z}}{1- \overline {z}} \\ &= \Re\frac {1+z- \overline {z}-|z|^2}{|1-z|^2} \\ &= \frac {1-|z|^2}{|1-z|^2} > 0. \end {align} $\psi(z)=e^{-\phi(z)}$ está acotada y es holomorfa en $|z| < 1$ pero $\psi$ no es uniformemente continua en el disco abierto.