Conmutar las colindancias a la derecha implica conmutar las colindancias a la izquierda.

Question

Digamos que tengo un diagrama de colindancias de derecha $$ \require{AMScd} \begin{CD} A @<{R_1}<< B \\ @V{R_3}VV @VV{R_2}V \\ D @<<{R_4}< C \end{CD} $$

¿se deduce que el diagrama de adjuntos de la izquierda $$ \require{AMScd} \begin{CD} A @>{L_1}>> B \\ @A{L_3}AA @A{L_2}AA \\ D @>>{L_4}> C \end{CD} $$

también conmuta, donde $L_1$ es adjunto a la izquierda de $R_1$ y así sucesivamente.

Parece algo que debería ser posible (funciona para todos los ejemplos que he anotado, pero no parece depender de los adjuntos correctos), pero no me convence.

Answer 1

Hay dos resultados que se unen para darte la respuesta.

Teorema 1. Si $\mathcal{C} \overset{F}{\underset{G}{\rightleftarrows}} \mathcal{D} \overset{K}{\underset{H}{\rightleftarrows}} \mathcal{E}$ son funtores con $F \dashv G$ y $K \dashv H$ entonces $G \circ H \dashv K \circ F$ .

Teorema 2. Si $F \dashv G_1$ y $F \dashv G_2$ entonces $G_1 \cong G_2$ y si $F_1 \dashv G$ y $F_2 \dashv G$ entonces $F_1 \cong F_2$ .

Por lo tanto, supongamos que $R_3 \circ R_1 = R_4 \circ R_2$ . Entonces $L_1 \circ L_3 \dashv R_3 \circ R_1$ por el Teorema 1, y $L_2 \circ L_4 \dashv R_4 \circ R_2 = R_3 \circ R_1$ por el Teorema 1, por lo que $L_1 \circ L_3 \cong L_2 \circ L_4$ por el Teorema 2.

Por lo tanto, el cuadrado de los adyacentes de la izquierda conmuta hasta el isomorfismo natural .

Desgraciadamente no se puede esperar obtener un resultado más fuerte que la conmutatividad hasta el isomorfismo natural, ya que los propios adjuntos sólo se definen hasta el isomorfismo natural.

He aquí un ejemplo. El siguiente cuadrado ciertamente conmuta, donde $\Delta : \mathbf{Set} \to \mathbf{Set} \times \mathbf{Set}$ es el functor diagonal, definido sobre los objetos por $A \mapsto (A,A)$ . $$\require{amsCD} \begin{CD} \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} @<{\Delta}<< \mathbf{Set} \\ @V{\Delta \times \mathrm{id}}VV @VV{\Delta}V \\ \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} @<<{\Delta \times \mathrm{id}}< \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} \end{CD}$$

Dejemos que ${+} : \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ sea el functor coproducto definido sobre los objetos por $${+}(A,B) \mapsto A+B = (A \times \{ 0 \}) \cup (B \times \{ 1 \})$$ y que $+' : \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ sea el functor coproducto definido sobre los objetos por $${+'}(A,B) \mapsto B+A = (A \times \{ 1 \}) \cup (B \times \{ 0 \})$$ Entonces ${+} \dashv \Delta$ y ${+'} \dashv \Delta$ y ${+} \times \mathrm{id} \dashv \Delta \times \mathrm{id}$ y ${+'} \times \mathrm{id} \dashv \Delta \times \mathrm{id}$ y así obtenemos el siguiente diagrama de adjuntos a la izquierda

$$\require{AMScd} \begin{CD} \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} @>{+}>> \mathbf{Set} \\ @A{{+} \times \mathrm{id}}AA @AA{+'}A \\ \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} @>>{{+'} \times \mathrm{id}}> \mathbf{Set} \times \mathbf{Set} \end{CD}$$

Esto conmuta hasta el isomorfismo natural, ya que $(A+B)+C \cong (A+'B)+'C$ naturalmente en $A,B,C$ pero no se conmuta estrictamente.

Answer 2

Clive Newstead ya ha dado una excelente respuesta (que he votado), pero quería añadir otra perspectiva.

El objetivo es demostrar que $L_1(L_3(x))\simeq L_2(L_4(x))$ para todos $x\in D$ , donde $\simeq$ denota un isomorfismo natural. Entonces, por la incrustación de Yoneda es equivalente demostrar que $$\newcommand\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom(L_1 L_3,-)\simeq \Hom(L_2 L_4,-),$$ Sin embargo, esto se desprende inmediatamente de los aditamentos y del hecho de que el derecho colinda con la conmutación: $$\Hom(L_1 L_3,-)\simeq \Hom(L_3,R_1)\simeq \Hom(-,R_3 R_1)\simeq \Hom(-,R_4 R_2)\simeq \Hom(L_2 L_4,-).$$

Esto es esencialmente equivalente a la simple aplicación de los resultados citados por Clive, pero cuando se trabaja con conjuntos adyacentes, a menudo encuentro que esclarece la secuencia real de isomorfismos naturales de los conjuntos Hom.