Subconjunto de $\ell^2$ con la propiedad de la distancia

Question

He estado tratando el siguiente problema:

Demostrar que existe un conjunto infinito $A\subset B(0,1)$ tal que $\|x-y\|_2>\sqrt{2}$ para todos $x,y \in A$ .

Mis ideas siempre terminan en puntos con distancia como máximo $\sqrt{2}$ .

Necesito pistas, por favor.

Answer 1

Recordemos que $\ell^2$ es un espacio de Hilbert con el producto interior natural. Nótese que: $$||x-y||^2=||x||^2+||y||^2-2\langle x,y\rangle,$$ en particular, si $x,y\in S$ ( $S$ el conjunto de puntos con norma igual a $1$ ) $$||x-y||^2=2(1-\langle x,y\rangle).$$

Así que basta con encontrar una familia infinita $B$ en $\ell^2$ tal que su producto interior es $\langle x,y\rangle<0$ para todos $x,y\in B$ , $x\neq y$ . Ya que se puede considerar $$A=\left\lbrace x/||x||\;:\;x\in B, x\neq 0\right\rbrace,$$ y tenemos para $x/||x||$ , $y/||y||$ , $x,y\in B\setminus\{0\}$ lo siguiente \begin{align} ||x-y||^2 & = 2\left( 1- \frac{1}{||x||\cdot||y||}\langle x,y\rangle\right) \\ & > 2.\end{align}

Dejemos que $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}:n\mapsto n!$ . Claramente $f(n)^2-nf(n-1)^2>0$ . Ahora, dejemos que $(e_n)_n$ la base estándar de $\ell^2$ y definimos $$u_n=f(n)e_n-\sum_{k=1}^{n-1}f(k)e_k.$$ El conjunto $B$ será el conjunto de los $u_n$ 's. Comprobemos que para cada par de números naturales distintos $n,m$ está convencido de que $\langle u_n,u_m\rangle<0$ . De hecho \begin{align}\langle u_n,u_m\rangle & = \left\langle f(n)e_n-\sum_{k=1}^{n-1}f(k)e_k,f(m)e_n-\sum_{j=1}^{m-1}f(j)e_j\right\rangle \\ & = \left\langle f(n)e_n, f(m)e_m\right\rangle-\left\langle f(n)e_n,\sum_{j=1}^{m-1}f(j)e_j\right\rangle \\ & + \left\langle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)e_k,\sum_{j=1}^{m-1}f(j)e_j\right\rangle-\left\langle \sum_{k=1}^{n-1}f(k)e_k, f(m)e_m\right\rangle \\ & = \sum_{k=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{m-1}f(k)f(j)\langle e_k,e_j\rangle-f(m)^2 \\ & = \sum_{j=1}^{m-1}f(k)^2-f(m)^2 \\ &\leq mf(m-1)-f(m)^2 \\ & < 0.\end{align}