Si estas tres condiciones encuentran el $\sin{\angle OPA}$

Question

Cuadrilátero convexo $ABCD$,y el circuncentro es $O$,si el Punto de $P$ mentira en los lados $AD$,y tal $$\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{8}{5},~~PA+PB=3AB,~~PB+PC=2BC,~~PC+PD=\dfrac{3}{2}CD$$find $\el pecado{\ángulo de OPA}$

Trato de dejar $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,,AP=x,PD=y,x+y=d$,e $OA=1$,luego me sale muy feo el uso de este wiki $$1=R=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$$ donde $s$ es semiperimeter.

Quiero que el uso de esta identidad $$\cos{(\angle APB+\angle CPB+\angle CPD)}=0$$ o $\angle APB=\angle 1,\angle CPB=\angle 2,\angle CPD=\angle 3$ $$\cos{\angle 1}\cos{\angle 2}\cos{\angle 3}=\sin{\angle 1}\sin{\angle 2}\cos{\angle 3}+\sin{\angle 1}\sin{\angle 3}\cos{\angle 2}+\sin{\angle 2}\sin{\angle 3}\cos{\angle 1}$$

Answer 1

Aquí es un comienzo: Vamos a $R = 1$ e $AP = 8x, PD = 5x.$ Entonces, por el poder de punto de $P$ con respecto a nuestro círculo, se tiene: $$R^2-OP^2=AP\cdot PD\implies OP = \sqrt{1-40x^2}.$$ Esto significa que por el teorema de los cosenos: $$\cos\angle OPA=\dfrac{24x^2+1-1}{2\cdot 8x\sqrt{1-40x^2}} = \dfrac{3x}{2\sqrt{1-40x^2}}.$$ Así que el reto ahora es encontrar a $x$ el uso de la información proporcionada. Esta debe ser una cadena de sencillos cálculos; sin embargo, si usted no puede terminar de aquí, déjame saber en los comentarios.

Actualización: Por el momento, vamos a $BP = y$ e $CP=z.$ También $\angle BAD = t.$ Entonces $AB = \frac{y+8x}{3}$ y del teorema de los cosenos en $\triangle BAP:$ $$\cos t = \dfrac{\frac{(y+8x)^2}{9} - (y+8x)(y-8x)}{2\cdot 8x\cdot\frac{y+8x}{3}} = \dfrac{10x-y}{6x}\quad (1)$$ Encontrar $BD$ el uso de Stuart teorema de la $\triangle BAD:$ $$BD^2 = \dfrac{1}{AP}(AP\cdot PD\cdot AD +BP^2\cdot AD - PD\cdot AB^2)=$$ $$= \dfrac{14y^2-10xy+545x^2}{9}\quad (2)$$ Por el Teorema de los Senos en $\triangle BDA$ y el uso de $(1), (2):$ $$R^2=1=\dfrac{BD^2}{4\sin^2 t}=\dfrac{BD^2}{4(1-\cos^2 t)}\iff $$ $$y^2(14x^2+1) - 10y(x^3+2x)+(545x^4+x^2) = 0.$$ Ahora esto parece feo al principio, pero resulta que tener un poco de buen discriminante: $$\frac yx = \dfrac{5x^2+10+3\sqrt{(5x^2+1)(2-13x)(2+13x)}}{14x^2+1}.$$

Si usted imitar la misma idea de $\triangle CDA,$ obtendrá la siguiente: $$\frac zx = \dfrac{128x^2+13+6\sqrt{(2-13x)(2+13x)(32x^2+1)}}{68x^2+1}.$$

Así que en este punto, no hemos utilizado la propiedad $PB+PC = 2BC$, lo que es ahora, obviamente, utilizado para encontrar $x.$ estaré ocupado hasta la próxima semana, así que si usted puede terminar de aquí, que me haga saber.

@Azul parece haber respondido a la pregunta, pero yo todavía espero terminar de cálculo de aquí. Así que voy a mantener este intento hasta por un tiempo.

Answer 2

He utilizado geometría de coordenadas para abordar este problema.

El uso de un círculo unitario en el original $x^2 + y^2 = 1$ y la recta y = -a. De esta manera tenemos :

$A(-\sqrt{1 - a^2}, -a)$ e $D(-\sqrt{1 - a^2}, -a)$

El uso de la fórmula del índice de $P(\frac{3\sqrt{1 - a^2}}{13}, -a)$

Utilizando la fórmula de la distancia que hemos

$PA = \frac{3}{13}\sqrt{1 - a^2} + \sqrt{1 - a^2} = \frac{16}{13}\sqrt{1 - a^2}$

$PD = \sqrt{1 - a^2} - \frac{3}{13}\sqrt{1 - a^2} = \frac{10}{13}\sqrt{1 - a^2}$

También vamos a B $(x_1, \sqrt{1 - x_1^2})$ e C $(x_2, \sqrt{1 - x_2^2})$

Por lo tanto $AB = \sqrt{(x_1 + \sqrt{1 - a^2})^2 + (\sqrt{1 - x_1^2} + a)^2}$

$PB = \sqrt{(x_1 - \frac{3}{13}\sqrt{1 - a^2})^2 + (\sqrt{1 - x_1^2} + a)^2}$

$BC = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 - (\sqrt{1 - x_1^2} - \sqrt{1 - x_2^2})^2}$

$PC = \sqrt{(x_2 - \frac{3}{13}\sqrt{1 - a^2})^2 + (\sqrt{1 - x_2^2} + a)^2}$

$CD = \sqrt{(x_2 - \sqrt{1 - a^2})^2 + (\sqrt{1 - x_2^2} + a)^2}$

Poner las anteriores distancias en el PA + PB = 3AB teóricamente podemos expresar $x_1$ en términos de una.

Del mismo modo para PC + PD = $\frac{3}{2}CD$ también podemos expresar $x_2$ en términos de una.

Por poner $x_1$ e $x_2$ en PB + PC = 2BC la ecuación puede resolverse por una.

Una vez $a$ se encuentra podemos encontrar la respuesta :

$$\sin\angle OPA = \frac{13}{\sqrt{\frac{9}{a^2} + 160}}$$

Las 3 ecuaciones son demasiado difíciles de resolver y sólo puede ser resuelto por la trata y el error.

Mi estimación nos da los siguientes resultados : $a = 0.1$, $x_1 = -0.75$, $x_2 = 0.35$, $\sin \angle OPA = 0.399$.