$f(a)-f(b)$ es racional es racional iff $f(a-b) $

Question

Demostrar que la función continua $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfacción $f\left(x\right)-f\left(y\right) \in\mathbb{Q} \iff f\left(x-y\right) \in \mathbb{Q}$ es de la forma $ f\left(x\right)=ax+b.$

Mi Intento.

Traté de considerar la función $$g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{f\left(1\right)-f\left(0\right)}$$ which also satisfies the property $g\left (\right)-g\left(b\right) \in\mathbb{Q} \iff g\left(a-b\right) \in \mathbb{Q}$,

Ahora estoy tratando de probar que esta función g es la identidad de la función y, a continuación, puedo demostrar que $f\left(x\right)=\left(f\left(1\right)-f\left(0\right)\right)x+f\left(0\right).$ Y estoy hecho.

Además, Esta función tiene que ser la identidad de la función debido a la $g\left(0\right)=0$ e $g\left(1\right)=1$.

He intentado suponiendo que la función g es tal que $g\left(a\right)\neq a$ para algunos $a\in \mathbb{R}$. Entonces, por la continuidad de $g\left(x\right)\neq x$ para algunos $\delta>0$ barrio de $a$. Pero no puedo avanzar más.

También El uso de una conocida anteriormente resultado, fui capaz de probar que f debe ser monótona. Sin embargo, yo no quiero utilizar cualquier otro resultado que no es conocido y no trivial.

Si una función $f $ es continua en a$\left[a,b\right]$ e $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ entonces para cualquier $\epsilon >0$ existe $m,n \in \left[a,b\right] $tal que $f\left(m\right)=f\left(n\right)$ e $m-n=\epsilon$.

En este caso seleccione la $\epsilon \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} $ y consigue $m,n \in \left[a,b\right] $ tal que $f\left(m\right)-f\left(n\right)=0 \in \mathbb{Q}$ pero $m-n \in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$.

Answer 1

Para cualquier $y$, tendremos a $f(x+y) - f(x) \in \mathbb Q$ para todos los $x$o $f(x+y) - f(x) \notin \mathbb Q$ para todos los $x$, dependiendo de si o no $f(y) \in \mathbb Q$. Pero $f(x+y)-f(x)$ es continuo, de modo que por el Teorema del Valor Intermedio llegamos a la conclusión de $f(x+y) - f(x)$ es constante. Así $$ f(x+y) - f(x) = f(y) - f(0) $$ Esto dice $f(x) - f(0)$ es un aditivo de la función. Y no es difícil demostrar que continua aditivo funciones son lineales.