Dé un ejemplo de: Un grupo con un elemento A de orden 3, un elemento B con orden 4, donde el orden de AB es menor que 12

Question

Estoy de matemáticas de los principales estudiando en la Universidad como un estudiante. Esta es una pregunta en la guía de estudio para la próxima final en Matemáticas 344 - Grupo de Teoría:

"Dar un ejemplo de un grupo G con un elemento de una de orden 3, un elemento b de orden 4, donde el orden de ab es menor que 12."

Mi entendimiento es que si un elemento de una es de orden n, es decir, que si una se combina consigo mismo n veces, se traduce en que el elemento de identidad e: a^n=e. También significa que no hay ningún número menor que n donde esto es cierto para un. Dos elementos de un y b pueden ser combinados en ab tales que ab es el resultado de lo que el operador actúa sobre el grupo. Ejemplo: Si el operador es, además, ab=a+b

Posibles grupos, he considerado la posibilidad de que no parece funcionar:

-D2n, el grupo de simetrías de un regular de nlados del polígono. Esto incluye rotaciones sobre el centro, o voltea a través de las líneas que pasan por el centro. No parece funcionar ya que si la rotación es de orden 3, y otro de rotación de orden 4, su combinación debe tener un orden 12. Todos los flips o combinaciones de una rotación con un flip tiene orden 2

-Grupo cociente Z/nZ. Z/12Z no parece funcionar, ya que {12Z+4} es de orden 3, {12Z+3} es de orden 4, pero {12Z+3+12Z+4}={12Z+7}, que tiene orden de 12. Esto parece llevar a cabo para otros valores de n

-El grupo de los enteros/reales/racionales con el operador de suma, o el grupo de no-cero de los números reales con la multiplicación, o el grupo de los racionales con la multiplicación. Nada de esto parece tener elementos de orden 3 o 4 en el primer lugar

Estos son los principales grupos que hemos trabajado en clase. He buscado en este sitio y otros ejemplos de grupos que me puede haber pasado por alto, sin suerte. Creo que los elementos que necesita no ser conmutativa - tales que ab no es igual a ba - pero no estoy seguro.

Gracias!

Answer 1

Tienes razón al haber observado que tus elementos no pueden conmutar.

El grupo simétrico $S_4$ tiene elementos de ambos tipos pero ningún elemento de orden $12$, por lo que tiene muchas opciones.

Espero que los grupos simétricos pronto se conviertan en un lugar para los ejemplos.

Answer 2

Deje $A$ e $B$ ser los cuaterniones $i$ e $\cos(2\pi/3) + j\sin(2\pi/3)$. A continuación, $AB = i\cos(2\pi/3)+k\sin(2\pi/3)$. Desde $AB$ es un vector de cuaterniones de unidad de longitud, se deduce que el $(AB)^2=-1$. Por lo $AB$ tiene orden de $4$.

El grupo resultante es $\mbox{Dic}_3$. Ver dicyclic grupos.

Answer 3

Considere \begin{align*} a = \pmatrix{1 & 1 \\ 0 & 1}, \;\;b = \pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0} \end {align *} en $SL_2(\mathbb{F}_3)$ . El producto \begin{align*} ab &= \pmatrix{1 & -1 \\ 1 & 0} \end {align *} tiene $(ab)^3 = -1$ .

Answer 4

Nota: no entendí la pregunta, como acaba de preguntar para no ser igual a 12. A menos de 12, que probablemente se podría continuar con la misma estrategia, pero sería un poco más complicado.

Para el fin de(ab) mayor que 12, vamos a $G_1$ ser el grupo libre de $(a,b)$, $H_1$ ser el grupo libre de $(a^3,b^4)$, $G_2$ ser el cociente grupo de $G_1/H_1$. $a$ es $3$ en $G_2$, $b$ es $4$, e $ab$ tiene orden infinito.

Poner en un poco menos de términos técnicos, $G_1$ es el grupo formado por todas las posibles secuencias de $a$, $b$, $a^{-1}$ e $b^{-1}$. E. g. $a^3ba^{-4}$ sería uno de los elementos. $G_2$ es de este grupo, salvo que, dadas dos secuencias, si podemos ir de uno a otro mediante la inserción de $a^3$, $a^{-3}$, $b^4$y/o $b^{-4}$, que consideramos que las dos secuencias a ser el mismo. En otras palabras, creamos $G_2$ tomando $G_1$ y simplemente la definición de $a^3$ e $b^4$ a ser la identidad.

Una interpretación física sería supongamos que tenemos dos discos. La primera sólo puede girarse en incrementos de 120 grados (a la derecha o a la izquierda), y el segundo sólo en incrementos de 90 grados. Deje $G_2$ el conjunto de las secuencias de las rotaciones de los dos discos, donde una secuencia es considerada diferente si se hace lo de los discos en orden diferente (girando el primer disco, el segundo, es diferente de la rotación de la segunda luego de la primera), pero el mismo si, mientras estamos en un disco en particular, se termina en el mismo lugar. Para rotar el primer disco de cuatro tiempos es el mismo rotativo el primer disco de una vez.