¿Por qué no son triviales todos los vectorbundle y sólo necesitamos la trivialización local?

Question

¿Por qué la trivialización sólo tiene que ser local para los paquetes vectoriales? Por ejemplo, el haz tangente. Si el espacio tangente en un punto p de una colmena M se identifica con digamos $\mathbb{R}^n$ ¿por qué no podemos identificar el espacio total del haz vectorial con M x $\mathbb{R}^n$ ? Mis preguntas podrían formularse como, ¿por qué no todos los haces vectoriales son triviales? Ya que tengo la sensación de que todas las fibras se pueden identificar con $\mathbb{R}^n$ y por lo tanto no se tiene sólo la trivialización local, sino en todas partes.

Answer 1

La misma razón por la que no todos los colectores son copias de $\mathbb{R}^n$ --- sólo porque estamos pegando cosas para localmente preservar la estructura, eso no significa que el global tiene esa misma estructura. (Si así fuera, la topología diferencial no sería un área de estudio tan interesante).

He aquí dos ejemplos de haces vectoriales no trivializables.

1. Banda de Mobius. Se trata de un haz vectorial real unidimensional sobre $\mathbb{S}^1$ y no es orientable, por lo que no es difeomorfo a un cilindro (y por tanto no es trivializable).

2. Haz tangente a $\mathbb{S}^2$ . Por el teorema de la bola peluda, ésta no tiene secciones globalmente no nulas, por lo que no puede ser trivializable.