Demostrar que .

Question

Deje $f$ ser continua la función en $[a,b]\times [c,d]$. Demostrar que

Demostrar que $$\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)dy\right) dx=\int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)dx\right) dy$$

Primero de todo, tenga en cuenta que $ \int_c^d f(x,y)dy$ es continua en a $x$ $ \int_a^b f(x,y)dx$ es continua en a$y$, por lo tanto las integrales de existir.

Tenemos

$$\frac{d\left[\int_a^b \left( \int_c^t f(x,y)dy\right) dx \right]}{dt}=\int_a^b f(x,t) dx$$

(Hemos utilizado la diferenciación bajo el signo integral y el teorema fundamental del cálculo)

También

$$\frac{d\left[\int_c^t \left( \int_a^b f(x,y)dx\right) dy \right]}{dt}=\int_a^b f(x,t) dx$$

(Aquí usamos el teorema fundamental del cálculo)

Por lo tanto $$\int_a^b \left( \int_c^t f(x,y)dy\right) dx-\int_c^t \left( \int_a^b f(x,y)dx\right) dy$$

como una función de la $t$ es constante en $(c,d)$.

Queda por demostrar que esta constante es $0$. ¿Cómo puedo hacer esto?

Answer 1

Indique por$g$ la función$g \colon [c,d] \to \mathbf R$$$ g(t) = \int_a^b \left(\int_c^t f(x,y)\, dy\right)\, dx - \int_c^t \left( \int_a^b f(x,y)\, dx\right) \, dy $ $ que considere. Luego,$g$ es continuo en$[c,d]$, se puede diferenciar en$(c,d)$ y tiene$g'(t) = 0$ para$t \in (c,d)$ (has probado esto anteriormente). Por lo tanto (por el teorema del valor medio),$g$ es constante en$[c,d]$ (esto también sigue por la continuidad de la constante en$(c,d)$). Por lo tanto, para todos los$t$:$g(t) = g(c)$. Pero$g(c) = 0$, ya que ambos sumandos son$0$.