Teorema de la función implícita para varias variables complejas.

Question

Esta es la declaración, en caso de que usted no está familiarizado con ella.
Deje $ f_j(w,z), \; j=1, \ldots, m $ ser analítico de las funciones de $ (w,z) = (w_1, \ldots, w_m,z_1,\ldots,z_n) $ en un barrio de $w^0,z^0$ $\mathbb{C}^m \times \mathbb{C}^n $ y asumir que $f_j(w^0,z^0)=0, \, j=1,\ldots,m $ y $$ \det\left\{\frac{\partial f_j}{\partial w_k}\right\}^m_{j,k=1} \neq 0 $$ en $(w^0,z^0)$. Entonces las ecuaciones $f_j(w,z)=0 \; j=1,\ldots,m $, tienen una determinada únicamente solución analítica $ w(z) $ en un barrio de $z_0$, de tal manera que $w(z_0) = w_0$.

En la prueba de esta afirmación puedo encontrar en Hormander del libro afirma que en el fin de aplicar la costumbre teorema de la función implícita, uno debe primero demostrar que las ecuaciones $df_j = 0$ $dz_k=0$ $j =1, \ldots, m $ $k = 1, \ldots, n$ implican $dw_j = 0$$ j = 1, \ldots, m$. No entiendo lo que esta condición significa y por qué es necesario.

Answer 1

Los términos $df_j$, $dz_k$ y $d\omega_j$ son usualmente vistos como uno de los formularios. Podemos ampliar el formulario a- $df_j$ en términos de sus parámetros,

$$ df_j = \frac{\partial f_j}{\parcial \omega_l} d\omega_l + \frac{\partial f_j}{\partial z_l} dz_l, $$

donde la sumatoria sobre el índice de $l$ es implícita. La idea de por qué es necesario que

$$dz_k=0 \mbox{ for } k=1,\ldots,n \implies d\omega_j=0 \mbox{ for } j=1,\ldots,m \;, $$

por el teorema de la función implícita: Para el $\omega_j$'s de ser único, definido en términos de la $z_k$'s, cerca del punto de $(\omega_0,z_0)$, entonces cuando no hay ningún cambio en el $z_k$'s, es decir, $d z_k \cdot v =0$ por cada $v \in \mathbb R^n$, también debe de haber ningún cambio en el $\omega_j$'s, es decir, $d \omega_j \cdot u =0$ por cada $u \in \mathbb R^m$ - básicamente la $\omega_j$'s no son libres de maravilla cuando la $z_k$'s son fijos.

Más concretamente, podemos relacionar esta condición para el requisito de nivel del teorema de la función implícita. Para ello, utilizamos $dz_k=0$ $k=1,\ldots,n$ a reducir las ecuaciones $df_j =0$ $j=1,\ldots, m$ a los siguientes

$$ df_j = \frac{\partial f_j}{\parcial \omega_l} d\omega_l =0. $$

Si el determinante $\det\{\partial f_j / \partial \omega_k\}_{j,k} \not = 0$, entonces podemos invertir la matriz $\partial f_j / \partial \omega_k$, por lo que vamos a llamar a $\partial \omega_i / \partial f_l$ su inverso, de modo que

$$ \frac{ \partial \omega_i}{\partial f_j }\frac{ \partial f_j}{\partial \omega_k} = \delta_{i,k} $$ ( suma de más de $j$ es implícita) donde $\delta_{i,k} = 1$ si $i=k$ $0$ lo contrario. Finalmente, multiplicamos este inversa con la reducción de la $df_j$ y suma más de $j$ para obtener

$$ 0=\frac{\partial \omega_i} { \partial f_j} df_j= \frac{\partial \omega_i} { \partial f_j} \frac{\partial f_j}{\parcial \omega_l} d\omega_l =d\omega_l \delta_{i,l} = d\omega_i \; \mbox {para } \; i= 1, \ldots, m \,. $$ Así nos encontramos con los $d\omega_i =0$ por cada $i$. Trabajando hacia atrás se puede ver que Hormander de la demanda implica que $\det\{\partial f_j / \partial \omega_k\}_{j,k} \not = 0$, que es un equivalente condición necesaria para que el teorema de la función implícita.

Yo creo que una prueba de uso de la $dz_k$'s$ \implies d\omega_j$'s conduce a una bonita prueba directa del teorema de la función implícita, y puede ser bastante intuitivo (ver el 3er párrafo de esta respuesta). Además de que es adecuado para su uso en más abstracto colectores, donde el uno-formas están bien definidos.

Espero que esto ayude!