¿Qué es la teoría de Galois para los esquemas?

Question

He oído hablar de la "teoría de Galois para esquemas" en este Nota: .

Todavía no lo he leído y conozco la teoría de Galois y un poco los esquemas (como lo que es, algunas propiedades como separado, irreducible, conectado...) pero no puedo imaginar cómo se combinan estos dos temas entre sí.

¿Podría explicarme qué es la teoría de Galois para los esquemas y cuál es su papel en las matemáticas modernas?

Gracias.

Answer 1

La teoría de Galois de los esquemas estudia los morfismos étale finitos. Este es el primer paso para cohomología estelar que es un área de las matemáticas vasta y extremadamente rica con muchas aplicaciones. El "teorema principal" de la teoría de Galois para esquemas clasifica los recubrimientos etale finitos de un esquema conexo $X$ en términos de su grupo fundamental $π(X)$ . Para un esquema conectado $X$ existe un grupo profinito $π_1(X)$ - el grupo fundamental de $X$ que está determinada de forma única hasta el isomorfismo, de manera que la categoría de coberturas étale finitas es equivalente a la categoría de representaciones de permutaciones finitas de $π_1(X)$ . En SGA1 se ofrece una discusión completa (así que lea SGA1, incluida la introducción). El grupo profinito $π_1(X)$ también se denomina grupo fundamental etéreo del esquema conectado X.
Otro tema, muy interesante para usted, será entonces La geometría anabelina de Grothendieck que también es muy importante para los trabajos de Mochizuki sobre el abc-conjetura . Para una explicación y el papel de la conjetura abc en las matemáticas modernas, afortunadamente, muchas personas han escrito "artículos de estudio" recientemente.