Problemas para encontrar el volumen de un sólido para $y=2-2x^2, y=0$

Question

Este es mi problema:

$$y=2-2x^2, y=0$$

Primero encontré los puntos de intersección resolviendo $y=2-2x^2, y=0$ y descubrí que mis puntos son $-1, 1$

Entonces encontré la zona haciendo lo siguiente:

$$A= \pi r^2$$ $$A=\pi(2-2x^2)^2$$ $$A=64\pi(x^4+1)$$

A continuación, me antidiferencié:

$$64\pi\int_{-1}^{1}(x^4+1)dx$$ $$64\pi(\frac{x^5}{5}+x)|_{-1}^{1}$$

Lo que me pareció que era:

$$\frac{768\pi}{5}$$

He superado el máximo de envíos para este problema, pero me preguntaba si este intento de respuesta es correcto o si he cometido otro error.

Answer 1

Supongo que está girando sobre el $x$ -eje. Entonces el volumen del sólido de revolución es $$\int_{-1}^1\pi(2-2x^2)^2\,dx.$$ Expandir. Queremos $$4\pi\int_{-1}^1 (1-2x^2+x^4)\,dx.$$ Por simetría, esto es $$8\pi\int_0^1 (1-2x^2+x^4)\,dx.$$ Una antiderivada es $x-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5$ . Cuando hacemos el cálculo, terminamos con $\frac{64\pi}{15}$ .

Observación: Hubo errores de álgebra al ampliar $(2-2x^2)^2$ . No sé dónde está el $64$ de la que provenía. El otro error vino de olvidar el "término medio" al cuadrar $a+b$ .

Answer 2

¿Cómo se consigue eso? $ \pi (2-2x^2)^2=64 \pi (x^4+1)$ ? ¿No tienes $\pi (2-2x^2)^2=4 \pi (1-x^2)^2$ ?

Answer 3

@T. Bongers

$$ \infty \quad\mbox{since}\quad \int_{-\infty}^{\infty}{\rm d}z \to \infty $$

$\mathbf{\mbox{ADDENDUM}}$ $$ {\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}} \atop y < 2 - 2x^{2}\,,\ y>0}\!\!\!\! \displaystyle{{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z \to \infty\atop } $$