¿Si es correcta $f\colon M^n\to N^n$ $N$ está conectado y $f_*$ preserva orientación en puntos regulares, $f$ es sobreyectiva?

Question

Estoy tratando de Ejercicio 8.21 de Spivak de la Geometría Diferencial. No es para hacer la tarea o nada. El problema de los estados

Deje $f\colon M^n\to N^n$ ser un adecuado mapa entre orientado $n$-variedades tales que $f_*\colon M_p\to N_{f(p)}$ ($f_*$ aquí es $df_p$ en otros textos creo) es la orientación de la preservación de siempre $p$ es un punto habitual. Si $N$ está conectado, entonces cualquiera de las $f$ es a $N$, o de lo contrario todos los puntos son puntos críticos de $f$.

En primer lugar, desde $f$ es un buen mapa entre los colectores, es cerrado, y por lo tanto $\operatorname{im}(f)\subset N$ es cerrado. Quiero mostrar, asumiendo que no es un punto habitual de $f$$M$, $\operatorname{im}(f)$ es abierto, por lo tanto todos los de $N$ desde $N$ está conectado.

Si $p$ es un punto habitual, por lo $f_*\colon M_p\to N_{f(p)}$ es surjective, por lo que también es bijective desde $M$ $N$ ambos $n$-dimensional. Por el teorema de la función inversa, $f$ es un local diffeomorphism, por lo que los mapas de abrir un barrio de $p$ al barrio de $f(p)$. Si yo pudiera mostrar arbitraria $q\in\operatorname{im}(f)$ es en uno de estos barrios, entonces yo estaría hecho.

Si $q$ no está en la diffeomorphic imagen de cualquier vecindad de un punto habitual de $f$, no esta contradicción la orientación de la preservación de los bienes de alguna manera?

Answer 1

Se trata de una cuestión de grados de asignación. $N$ Esté conectado, el grado de Brouwer-Kronecker está bien definido. Uno toma cualquier valor regular $q\in N$ y en la suma $ \deg (f) = \sum_ {f (p) = q} sign\, d_pf, $$ donde $sign$ es $+1$ si $d_p$ preserva orientación, $-1$ lo contrario. Cualquier $q\notin im(f)$ trivial es un valor regular y la suma es nula. Pero si hay algún valor regular $q\in im(f)$ $sign\, d_pf=+1$ % todo $f(p)=q$y la suma no puede ser cero. Por lo tanto, la conclusión.