Dos observaciones :
Primero, tu fractal está acotado. Si el segmento original es $[0;1] \times \{0\}$ el fractal que engendra está acotado en la caja $[0,3/2] \times [-1/4 ; 1]$
En segundo lugar, si se empieza con una rejilla de segmentos (o flechas, para que la orientación sea más clara) y se hace una iteración, se obtiene otra rejilla cuatro veces más densa : ![grid of arrows]()
A partir de esta imagen, podemos deducir que el monoide de los 4 transformatinones es libre, y en particular si se itera cualquier número de veces sobre una flecha, cada flecha obtenida es distinta, no hay duplicados.
Las iteraciones definen una aplicación continua $\phi_0 : [0;1] \cap \Bbb Z[1/2] \to \Bbb Z[1/2]^2$ . Por continuidad, esto se extiende a una única función continua $\phi : [0;1] \to \Bbb R^2$ donde la imagen de $\phi$ es el cierre de la imagen de $\phi_0$ :
dada una secuencia $(\phi_0(x_n))$ de elementos en la imagen de $\phi_0$ ya que $[0;1]$ es compacta, podemos extraer una subsecuencia de $(x_n)$ convergiendo hacia $x$ y luego por continuidad, $\phi(x) = \lim \phi(x_n)$ .
Ahora bien, si se pavimenta el plano con piezas fractales como las indicadas por la cuadrícula de flechas, se acaba llenando el plano :
Supongamos que $P \in \Bbb R^2$ . Existe una secuencia de puntos con coordenadas diádicas convergentes a $P$ . Dado que cada pieza fractal está acotada, hay un número finito de piezas fractales implicadas en esa secuencia. Así que podemos extraer una subsecuencia que se quede en una pieza fractal, y como cada pieza es cerrada, $P$ está en esa pieza fractal.
Asumiendo que las piezas son medibles (creo que lo son ya que no usamos el axioma de elección), en la rejilla de flechas, la intersección de dos piezas cualesquiera tiene medida cero :
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que estamos ante dos trozos de igual tamaño generados por flechas que están lo suficientemente cerca como para que las cajas delimitadoras se encuentren. Entonces podemos suponer además que son dos subpiezas de una pieza fractal original, ambas del mismo tamaño (todas las formas posibles de tener dos flechas cercanas se dan de forma natural en el fractal).
Sea $A$ sea la pieza fractal original, y sea $(A_k^n)_{0\le k<4^n})$ sea la secuencia de piezas obtenidas tras $n$ interaciones. Supongamos ahora que tenemos dos subpiezas que se intersecan son $A_i^n$ y $A_j^n$ . Entonces obtenemos $\mu(A) \le \sum \mu(A_k^n) - \mu(A_i^n \cap A_j^n) = \mu(A) - \mu(A_i^n \cap A_j^n)$ . Entonces $\mu(A_i^n \cap A_j^n) \le 0$ de modo que $\mu(A_i^n \cap A_j^n) = 0$
Dado que la rejilla de piezas fractales llena el plano podemos deducir : $\mu(A) = 1/4$ .
El fractal tiene interior no vacío si y sólo si existe una iteración en la que tiene una cuadrícula de $16$ flechas como se describe en la imagen de arriba :
Si tiene interior no nulo, hay una zona que contendrá todas las flechas posibles. A la inversa, si dibujamos las cajas delimitadoras de todas las demás flechas del plano alrededor de esas $16$ flechas, no llegarán a un área cuadrada en el centro del diagrama. Esto significa que en ese cuadrado alcanzamos todas las flechas del original $16$ para que todo el cuadrado esté en la imagen del fractal.
Esto ocurre en el $9$ iteración (puede que ocurra antes, no estoy seguro), así que $A$ tiene un interior no vacío.
