Cómo calcular el grupo de cohomología$H^2_\sigma(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2)$ con el módulo no trivial$G$ -

Question

Cómo calcular la cohomología grupal$H^2_\sigma(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2)$ con una acción grupal no trivial$\sigma$.

$$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}= \langle a,b| a b =ba\rangle$ $$$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2= \langle c,d| c^2=1=d^2,c d =dc\rangle$ $

Si requiero que la acción de grupo sea$\sigma(a): c\rightarrow d$,$\sigma(a): d\rightarrow c$,$\sigma(b): c\rightarrow d$,$\sigma(b): d\rightarrow c$

Mis preguntas:

1. ¿Cómo calcular el grupo de cohomología$H^2_\sigma(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2)$?

2. ¿Cuál es el grupo$(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2) \rtimes_\sigma (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} )$?

Answer 1

Puede resolver estos dos preguntas usando el polycyclic paquete, que viene incluido con el VACÍO. Hay varias formas de entrada al introducir el problema en la BRECHA. Voy a elegir a uno a través de la matriz de módulos: El grupo $G := \mathbb{Z}^2$ con generadores $a,b$ está actuando aquí en el espacio vectorial $\mathbb{F}_2$ (con base $c,d$), con ambos generadores de $G$ actuando a través de la matriz $\left(\begin{smallmatrix} 0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right)$. Así:

gap> LoadPackage("polycyclic");
true
gap> G:=AbelianPcpGroup([0,0]);
Pcp-group with orders [ 0, 0 ]
gap> m:=[[0,1],[1,0]]*Z(2);;
gap> cr:=CRRecordByMats(G,[m,m]);;
gap> h2:=TwoCohomologyCR(cr);;

Por desgracia, $h2$ no es un buen grupo de objetos; uno tiene que leer la documentación de TwoCohomologyCR para aprender a interpretar sus resultados. Aquí, estamos interesados en h2.factor, la cual es:

gap> h2.factor;
rec( denom := [ <a GF2 vector of length 4> ],
  gens := [ [ Z(2)^0 ] ],
  imgs := [ [ Z(2)^0 ], [ Z(2)^0 ] ],
  prei := [ <an immutable GF2 vector of length 4> ].
  rels := [ 2 ] )

Este resultado significa que la segunda cohomology grupo tiene un generador (en gens), con relación de orden 2, es decir, es $\mathbb{Z}_2$.

Para obtener la correspondiente extensión, use $ExtensionClassesCR$:

gap> exts:=ExtensionClassesCR(cr);
[ Pcp-group with orders [ 0, 0, 2, 2 ],
  Pcp-group with orders [ 0, 0, 2, 2 ] ]

Answer 2

Creo que es razonable hacerlo a mano. El siguiente es análogo al cálculo de grupo cohomology por el grupo $G = \mathbb{Z}$.

Deje $A := \mathbb{Z}[t_{1}^{\pm},t_{2}^{\pm}]$ ser el anillo de grupo de grupo de $G := \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. A continuación, el $A$-módulo de $\mathbb{Z} \simeq A/(t_{1}-1,t_{2}-1)A$ $A$- módulo de resolución $$ \dotsb \to 0 \to A e_{2,1} \stackrel{f_{2}}{\to} A e_{1,1} \oplus A e_{1,2} \stackrel{f_{1}}{\to} A e_{0,1} \to \mathbb{Z} \to 0 $$ where $f_{2}(e_{2,1}) = (t_{2}-1)e_{1,1} - (t_{1}-1)e_{1,2}$ and $f_{1}(e_{1,i}) = (t_{i}-1)e_{0,1}$ for $i=1,2$. Let $$ M := \mathbb{Z}/(2) \oplus \mathbb{Z}/(2) $$ be the $A$-module as above. Applying $\operatorname{Hom}_{A}(-,M)$ to the above resolution gives a complex $$ M \stackrel{f_{1}^{\ast}}{\to} M^{\oplus 2} \stackrel{f_{2}^{\ast}}{\to} M \to 0 \to \dotsb $$ of $A$-modules, and taking cohomology at the $i$th cohomological degree gives $\mathrm{H}^{i}(G,M)$. In particular we have $$ \mathrm{H}^{2}(G, M) \simeq \operatorname{coker}(M^{\oplus 2} \stackrel{f_{2}^{\ast}}{\to} M) $$ where the map $f_{2}^{\ast} : M^{\oplus 2} \a M$ sends $(m_{1},m_{2}) \mapsto (t_{2}-1)m_{1} - (t_{1}-1)m_{2}$. Say $m_{i} \in M$ is of the form $(n_{i,1},n_{i,2})$ with $n_{i,\ell} \in \mathbb{Z}/(2)$. Then $\operatorname{im} f_{2}^{\ast}$ consists of the subgroup of $M$ generated by elements of the form $$ (n_{1,2}-n_{1,1} , n_{1,1}-n_{1,2}) - (n_{2,2}-n_{2,1} , n_{2,1}-n_{2,2}) $$ for $n_{i,\ell} \in \mathbb{Z}/(2) = \{0,1\}$, in other words $\{(0,0),(1,1)\}$.

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Uno puede generalizar esto para calcular grupo cohomology por el grupo $G = \mathbb{Z}^{\oplus n}$ para cualquier entero positivo $n$, el punto es que $\{t_{1}-1 , \dotsc , t_{n}-1\}$ es una secuencia regular en $A := \mathbb{Z}[t_{1}^{\pm} , \dotsc , t_{n}^{\pm}]$, de modo que el complejo de Koszul ofrece una resolución de $\mathbb{Z}$ libre $A$-módulos anteriores.