Demuestre que$3\cdot 5^{2n+1} +2^{3n+1}$ es divisible por$17$ para todos$n ∈ \mathbb{N}$

Question

Use inducción matemática para demostrar que $3\cdot 5^{2n+1} +2^{3n+1}$ es divisible por $17$ para todos los $n ∈ \mathbb{N}$.

He probado a hacerlo como seguir.

Si $n = 1$ entonces $392/17 = 23$. Se supone que es verdadera cuando $n = p$. Por lo tanto, $3\cdot 5^{2p+1} +2^{3p+1} = 17k $ donde $k ∈ \mathbb{N} $. Considere ahora $n=p+1$. Entonces \begin{align} &3\cdot 5^{2(p+1)+1} +2^{3(p+1)+1}=\\ &3\cdot 5^{2p+1+2} + 2^{3p+1+3}=\\ &3\cdot5^{2p+1}\cdot 5^{2} + 2^{3p+1}\cdot 2^{3}. \end{align} He llegado a un callejón sin salida, a partir de aquí. Si alguien me podría ayudar en la dirección de el siguiente paso sería realmente útil. Gracias de antemano.

Answer 1

Habiendo demostrado que $$3\cdot5^{2p+1}+2^{3p+1}=17k$ $ tenemos (continuando desde la última línea) $$3\cdot5^{2p+1}5^{2}+2^{3p+1}2^{3}=17(3\cdot5^{2p+1})+8(3\cdot5^{2p+1}+2^{3p+1})=17(3\cdot5^{2p+1}+8k)$ $ por lo que la siguiente expresión también es divisible por 17, según sea necesario.

Answer 2

Conceptualmente el paso inductivo escalas por $\,\color{#c00}{5^{\large 2} \equiv\, 2^{\large 3}}\pmod{\!17}.\,$ Si usted no sabe congruencias podemos conservar este aritmética esencia mediante el uso de una divisibilidad (vs congruencia) producto de la regla donde hemos utilizado la notación estándar $\ m\mid n\ $ medio $\,m\,$ divide $\,n.\,$

$$\qquad\ \ \begin {align} &17\mid\ \ \ \color{#c00}{5^{\large 2}\quad\ \ -\quad\ \ 2^{\large 3}}\\ &17\mid\ a\ \ \ 5^{\large 2n+1} -\ b\ \ \ \,2^{\large 3n+1}\qquad\ P(n)\\ \Rightarrow\ \ &17\mid a \color{#c00}{5^{\large 2}} 5^{\large 2n+1}\! -\,\ b \color{#c00}{2^{\large3}} 2^{\large 3n+1}\qquad P(n\!+\!1) \end{align} $$

$\begin{align}{\bf Divisibility\ Product\ Rule}\ \ \ \ &m\mid\ a\ -\ b\qquad {\rm i.e.}\quad \ a\,\equiv\, b\\ &m\mid \ \ A\: -\: B\qquad\qquad \ A\,\equiv\, B\\ \Rightarrow\ \ &\color{}{m\mid aA - bB}\quad \Rightarrow\quad aA\equiv bB\!\pmod{\!m}\\[.2em] {\bf Proof}\,\ \ m\mid (\color{#0a0}{a\!-\!b})A + b(\color{#0a0}{A\!-\!B}) &\,=\, aA-bB\ \ \text{by %#%#% divides %#%#% terms by hypothesis.}\end{align}$

Usted puede encontrar más debate en muchos de los anteriores posts.

Answer 3

Paso $n+1:$

$3(5^2)5^{2p+1}+(2^3)2^{3p+1}=$

$3(17+8)5^{2p+1} +8 \cdot 2^{3p+1}=$

$8[3 \cdot 5^{2p+1}+2^{3p+1}]+ 17\cdot 3 \cdot 5^{2p+1}.$

El primer término en la suma anterior es divisible por $17$ (hipótesis), el segundo término es un múltiplo de $17$ .

Answer 4

Aquí hay dos rutas alternativas.

Usando el teorema del binomio: $$ 3\cdot 5^{2n+1} +2^{3n+1} = 15\cdot 25^{n} +2\cdot 8^{n} = 15\cdot (17+8)^{n} +2\cdot 8^{n}\\ = 15\cdot (17a+8^{n}) +2\cdot 8^{n} = 17b+15\cdot 8^{n} +2\cdot 8^{n} = 17b+17\cdot 8^{n} $$

El uso de las recurrencias:

Vamos $ x_n=3\cdot 5^{2n+1} +2^{3n+1} $, Ya que, como en el anterior, $ x_n= 15\cdot 25^{n} +2\cdot 8^{n} $, tenemos la recurrencia $x_{n}=33x_{n-1}-200x_{n-2}$, $n\ge 2$(*). El resultado de la siguiente manera por la inducción, porque $x_0$ e $x_1$ son múltiplos de $17$.

(*) En general, si $x_n=a\alpha^{n} +b\beta^{n}$, a continuación, $x_{n}=(\alpha+\beta)x_{n-1}-(\alpha\beta)x_{n-2}$, $n\ge 2$. Esto se deduce porque $\alpha$ e $\beta$ son las raíces de la ecuación cuadrática $(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+(\alpha\beta)$.

Answer 5

Voy a empezar con el paso inductivo

$$3\cdot5^{2(n+1)+1}+2^{3(n+1)+1}$$

$$3\cdot5^{2n+1+2}+2^{3n+1+3}$$

$$3\cdot25\cdot5^{2(n+1)}+8\cdot2^{3n+1}$$

Sabemos que $$3\cdot5^{2n+1}+2^{3n+1}=17k$$

Por lo tanto, $$3\cdot5^{2n+1}=17k-2^{3n+1}$$

Enchufe esta en: $$25\cdot(17k-2^{3n+1})+8\cdot2^{3n+1}$$

$$425k\cdot-25\cdot2^{3n+1}+8\cdot2^{3n+1}$$

$$425k\cdot-17\cdot2^{3n+1}$$

$$17(25-2^{3n+1})$$