¿Cómo probar la suma de los números cardinales transfinitos?

Question

¿Cómo se prueba la siguiente adición cardinal transfinita ?:

$ \alpha + \beta = \max(\alpha,\beta)$?

Y, como consecuencia,$\alpha + \alpha = \alpha$, donde$\alpha$ y$\beta$ son números cardinales transfinitos.

Answer 1

Para mostrar que $\alpha + \beta = \beta$ siempre $\alpha \leq \beta$ son los cardenales y $\beta$ es infinito, uno va a menudo a través de la secuencia de las siguientes deducciones:

1. Primer lugar, demostrar que $\beta \cdot \beta = \beta$ infinito cardenales $\beta$.
2. Como corolario a (1) demostrar que el $\beta + \beta = \beta$.
3. Como corolario a (2) demostrar el caso general.

El "truco" para la primera parte es la construcción de un buen orden en $\beta \times \beta$ (producto cartesiano), que tiene orden de tipo $\beta$.

Por ejemplo (y esto es lo que se hace en Jech del texto), se podría definir $\langle \xi , \zeta \rangle \leq \langle \eta , \nu \rangle$ fib uno de los siguientes sostiene:

1. $\max \{ \xi , \zeta \} < \max \{ \eta , \nu \}$; o
2. $\max \{ \xi , \zeta \} = \{ \eta , \nu \}$ $\xi < \eta$ ; o
3. $\max \{ \xi , \zeta \} = \{ \eta , \nu \}$ $\xi = \eta$ $\zeta \leq \nu$.

Por inducción transfinita entonces podemos demostrar que para cada uno de los infinitos cardenal $\beta$ de los asociados a bien ordenar ha pedido tipo $\beta$. (Inducción transfinita es posible que el orden definido aquí porque si $\alpha < \beta$ son infinitos los cardenales, a continuación, el orden en $\alpha \times \alpha$ es un segmento inicial de la ordenación en $\beta \times \beta$.)

Ya que no es un buen orden en $\beta \times \beta$ del tipo $\beta$, se deduce que los conjuntos de $\beta \times \beta$ $\beta$ tienen la misma cardinalidad. Como definimos el cardenal producto$\beta \cdot \beta$$| \beta \times \beta |$, hemos terminado.

Answer 2

¿Cómo probarías$\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$? Si lo hace de forma obvia, ¿puede pensar en cómo generalizarlo a cardenales arbitrarios$\alpha$? (Podría ser útil pensar en la forma normal de Cantor para este último, pero no es necesario). Entonces, si puedes hacer eso, ¿puedes ver cómo obtendrías$\alpha + \beta = \max(\alpha, \beta)$?