Simplificando expresiones trigonométricas, ¿existe una teoría unificada?

Question

$\frac{1}{3}\cos^3 x \cos(2x)+\frac{1}{12}\sin(2x)(\sin(3x)+3\sin x)=\frac{1}{3} \cos x$

Llegué a esto como el resultado de una ecuación diferencial que he resuelto. La respuesta en el libro es (1/3) cos(x), pero después de aplicar la variación de los parámetros llegué a la expresión de la izquierda. Para mi deleite Wolfram Alpha me dice que son iguales! (yay!!)

Pero, sin trampas y el uso de la computadora, cómo iba yo a saber? Nada acerca de mi expresión gritos de "simplificar la me" a menos que me estoy perdiendo algo.

Tal vez me gustaría que observe el gráfico parecía coseno si se me ocurrió para generar el gráfico.

Sé que muchos identidades trigonométricas, pero nunca he oído hablar de una formales de procedimiento que siempre trabaja para simplificar. ¿Existe tal cosa? ¿Cómo acercarse a este sucio expresión?

¿Cómo puedo mejorar en esta importante habilidad?

Tengo más problemas a resolver y se siente barato para seguir usando mis respuestas en W. alpha para ver si están en lo correcto.

Ps. Hay un widget para convertir cosa de formato para el matemático al látex y viceversa?

Answer 1

El uso de exponenciales complejos proporciona una forma sistemática de verificar tales identidades. Comience por sustituir $$ \ cos t = \ frac12 (e ^ {it} + e ^ {- it}), \ qquad \ sin t = \ frac1 {2i} (e ^ {it} -e ^ {- it} ), $$ con$t=x$,$t=2x$ y$t=3x$, según corresponda. Recuerda que$(e^{ix})^n=e^{inx}$ y$e^{ix} e^{iy}=e^{i(x+y)}$. Expandir el lado izquierdo y comparar ...