isomorfismo natural en álgebra lineal

Question

Deje $\mathsf{C}$ $\mathsf{D}$ dos categorías y $\mathcal F,\mathcal G$ two functors $\mathsf{C}\rightarrow\mathsf{D}$. Un natural de isomorfismo de $\mathcal F$ $\mathcal G$es el dato de un isomorfismo $\nu_X:\mathcal F(X)\rightarrow \mathcal G (X)$ por cada $X\in Obj(\mathsf{C})$ tal que para cada a $\alpha\in \operatorname{Hom}(X,Y)$ en $\mathsf{C}$ tenemos que

$$\mathcal G(\alpha)\circ\nu_X=\nu_Y\circ\mathcal F(\alpha)$$

Ahora, muchos libros dicen que un isomorfismo lineal $f$ entre espacios vectoriales es un isomorfismo natural si "$f$ no depende de la elección de la base". Tengo dos preguntas:

1) ¿Qué formalmente significa la frase "$f$ no depende de la elección de la base"?

2) ¿Cómo puedo coincidir con las dos definiciones de isomorfismo natural?

Answer 1

Formalmente, el significado de 'no depende de las elecciones (por ejemplo, de base)" significa, precisamente, que las funciones (o morfismos más general) forman una transformación natural. En el artículo original donde Eilenberg y Mac Lane introducir categorías de las que dicen explícitamente que las categorías son introducidos a definir functors y que functors se introdujo para definir natural transformaciones.

Es muy común en matemáticas, para usar el término 'natural' acerca de la construcción (mucho antes de transformaciones naturales que existían) y en casi todos los casos, esto significa que uno en realidad construye una transformación natural en el sentido formal de la categoría de teoría.

Ahora para responder a sus preguntas. Una construcción en álgebra lineal se dice que es independiente de la elección de la base si la construcción se utiliza una base en la definición, pero la elección de cualquier otro fundamento que dará el mismo resultado final. Por ejemplo, se puede definir el determinante de una transformación lineal $T:V\to V$, en algunos finito dimensional espacio vectorial $V$, a ser el determinante de una representación de la matriz relativa a una base $B$. Entonces, uno puede demostrar que no importa el cual es elegido el determinante de la representación de la matriz es siempre la misma. Por lo tanto, este concepto es independiente de la elección de la base.

Por cierto, el determinante da un ejemplo de una transformación natural, vea ¿por Qué factor determinante es una transformación natural?

Ahora para la pregunta 2, bastante a menudo, cuando usted es capaz de construir una transformación lineal que no depende de una elección particular de la base va a ser el caso de que esto va a ser un general de la construcción que le dará toda una familia de transformación lineal, que en conjunto forman una transformación natural.

Puede que desee echar un vistazo a Lo que es un isomorfismo natural? para más ejemplos.

Answer 2

Considere los dos reales $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definido por

• $f(x,y) = x + y$
• $g(x,y) = x$

Claramente, diferentes valores de $y$ le dan valores diferentes cuando se está conectado a $f(x,y)$, pero no le dan valores diferentes cuando se está conectado a $g(x,y)$. Podemos decir que el valor de $g(x,y)$ "no depende de $y$", y nos dicen que el valor de $f(x,y)$.

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Ahora considere los cálculos podríamos hacer con un número racional $q$. He aquí dos ejemplos:

• Escribir $q=m/n$, definir $r = (m+1)/n$
• Escribir $q=m/n$, definir $s = (m+n)/n$

Mientras tanto los cálculos se expresan como $r$ $s$ se calcula son funcionalmente dependientes del valor de $q$, que no es del todo cierto; hay otra, implícita dependencia: una elección de la forma en que escribimos $q=m/n$. En términos funcionales, hemos definido dos funciones

• $r(q,m,n) = (m+1)/n$ siempre $q = m/n$
• $s(q,m,n) = (m+n)/n$ siempre $q = m/n$

Sin embargo, el valor de $s$ no depende de la elección de $m$ $n$ satisfacción $q=m/n$! Esto es importante, porque significa que el valor se construyó realmente y de verdad puede ser expresada como una función de la $q$ solo; es decir, podemos expresarlo como $s(q)$.

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Estas mismas preocupaciones se aplican a los "mayores" construcciones; por ejemplo, en la construcción habitual de un isomorfismo entre finito dimensionales espacios vectoriales $T : V \to V^*$, el isomorfismo construimos no sólo depende de $V$, pero en una de las opciones de bases de $B$ $V$ (y una base para $V^*$, pero voy a elegir a la base dual a $B$) así que en lugar de conseguir un isomorfismo $T_V : V \to V^*$, tenemos un isomorfismo $T_{V,B} : V \to V^*$, donde he añadido los subíndices a $T$ a indicar la dependencia.

Resulta que, por desgracia, que la idea de una transformación natural en realidad no tiene nada que ver con las preocupaciones anteriores; sin embargo, a menudo viene en el mismo contexto.

Considere la posibilidad de la construcción anterior. $V$ es una variable que denota una finito-dimensional espacio vectorial y $B$ base $V$; es fácil de interpretar por encima de la construcción no como algo que se puede hacer para una elección particular de espacio vectorial y base, sino como algo que se puede hacer para todas las opciones. Si definimos

• S = { (V,B) | V es un número finito de dimensiones de espacio vectorial y B es una base para V }
• FinVect = la categoría de finito-dimensional espacios vectoriales

a continuación, podemos ver $S$ como una categoría discreta y hay functors

• $F : S \to \mathbf{FinVect}$ definido por $F(V,B) = V$
• $G : S \to \mathbf{FinVect}$ definido por $G(V,B) = V^*$

y una transformación natural

• $\eta : F \to G$ definido por la elección de $\eta_{V,B}$ a ser de flecha construido por el argumento mencionado anteriormente.

Mientras que $\eta$ es de hecho una transformación natural, normalmente no diría que $\eta_{V,B} : V \to V^*$ es natural, porque la elección de $S$ era algo artificial y trivial.

por ejemplo, desde la $V$ es una variable que denota un espacio vectorial, $S$ realmente debería haber tenido un componente que se parece a $\mathbf{FinVect}$; pero para que todo en términos de categorías, functors, y natural de las transformaciones, hay que "olvidar" la estructura de espacio vectorial para conseguir que las cosas funcionen.

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La costumbre isomorfismo $I_V : V \to V^{**}$, sin embargo, sólo depende de $V$. Y depende de $V$ en una manera que es consistente con la estructura de espacio vectorial: tenemos

• $F : \mathbf{FinVect} \to \mathbf{FinVect}$ $F(V) = V$
• $G : \mathbf{FinVect} \to \mathbf{FinVect}$ $G(V) = V^{**}$
• $\eta : F \to G$ $\eta_V = I_V$.

Debido a esto, podemos decir que $V$ $V^{**}$ dependen functorally en $V$, y decimos que $\eta$ es natural en $V$.

Construcciones que dependen de decisiones todavía puede ser natural en este sentido, sin embargo. Por ejemplo, la construcción de homotopy grupos de un vacío topológica del espacio dependen de la elección de un punto en ese espacio, pero todo depende de functorally en el espacio y la elección de punto.

Este hecho se expresa generalmente por venir para arriba con un nuevo término para un espacio y la elección de un punto (un "señaló el espacio"), y que expresan homotopy en términos de punta espacios.

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El "coloquial" el uso natural por lo general quiere implicar tanto de las preocupaciones mencionadas anteriormente, y por lo general denota un cierto grado de estética así.

Sin embargo, no estoy seguro de si la expresión coloquial de uso realmente significa implica el significado técnico de naturales que he descrito, o si acaba de llegar a ser altamente correlacionados porque las cosas que violan el significado técnico que también tienden a tener algún tipo de dependencia en las elecciones, o son más bien estéticamente desagradable.