¿Cuál es el valor de$n$ para el cual$n!=2^{25} \times 3^{13} \times 5^6 \times 7^4 \times 11^2 \times 13^2 \times 17 \times 19 \times 23 $

Question

¿Cuál es el valor de $n$ que $n!=2^{25} \times 3^{13} \times 5^6 \times 7^4 \times 11^2 \times 13^2 \times 17 \times 19 \times 23 $

La forma en que me estoy acercando a este problema es simplemente encontrar el mayor número posible y para conseguir que todos los números entre el $2$ $23$ porque pensé que podría ser $23!$

pero yo tenía el resto de los números:

$$2^{10},3^5,5^3,7, 11, 13 $$

Así que yo sé que $n$ es superior a la de $23!$ Mi siguiente método sería de escape de todos los números. Sin embargo, mi pregunta es ¿podría alguien hacer esta pregunta diferente además de agotar todos los números? Tengo curiosidad para ver si hay algún método en la solución de esta cuestión.

Este podría ser sin sentido, pero sólo tirando por ahí, no estoy buscando el "uso de la calculadora" método.

Answer 1

Sabe que$n$ está entre$23$ y$28$, inclusive, porque hay un$23$ en la factorización principal de$n!$ pero no$29$. Hay$4$ factores de$7$, por lo que estos deben ser de$7$,$14$,$21$ y$28$.

Por lo tanto $n=28$.

Answer 2

$n!=2^{25} \times 3^{13} \times 5^6 \times 7^4 \times 11^2 \times 13^2 \times 17 \times 19 \times 23$

El recuento de los factores primos:

Para $2^n!$ hay $2^{n-1}$ múltiplos de 2, $2^{n-2}$ múltiplos de 4, $2^{n-3}$ múltiplos de 8, y así en el $1 + 2 + 4 + .... + 2^{n-1} = 2^n - 1$ potencias de 2. I. E. $2^{2^n - 1}|2^n!$ pero $2^{2^n}$ no.

Ahora 25 = 15 + 7 + 3. Así $2^{15}|16!$, $2^7 | 17*18... 24$, $2^3 | 25*...*28$. Por lo $2^{25} | 28!$$28 \le n < 30$.

De manera similar, para el exacto las mismas razones $3^n!$ $3^{n -1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1$ potencias de 3.

Por lo $3^{13}| n!$ y 13 = 1 + 3 + 9. Por lo $3^3 = 27 \le 30$.

Mismo por 5. $6 = 5 + 1$ $5^2 \le n \le 30$.

Hay cuatro poderes de 7. 4 < 7 + 1 por lo $n < 7^2$. $4*7 = 28 \le n < 5*7=35$.

Hay 2 potencias de 11 $22 \le n < 33$.

13: $26 \le n < 39$.

17: $17 \le n < 34$

19: $19 \le n < 38$

23: $23 \le n < 46$

29: no Hay poderes de 29. Por lo $n < 29$.

Poner todos estos juntos y n = 28.

Bueno, eso era más largo y tedioso que un mucho más de lo que nos neededt a hacer. Pero quería darle ideas de cómo resolver estos en general.

Sería más fácil a nota: n < 29 ya que no hay 29 de poderes y 4 de los siete poderes media de $n \ge 28$. A continuación, nos gustaría predecir 28! tendría la correcta poderes para todo el resto.

Pero esto nos da un método rápido para factorizar factoriales. Por ejemplo 50! =

$2^{31+15+1}*3^{(9+3+1)+2(3+1) + 1}*5^{2(5 + 1)}*7^{1+7}*11^4*13^3*17^2*23^2*29*31*37*41*43*47$