Convergencia de la integral $\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x}+2+\cos{x}}{x+2}dx$

Question

Es

$$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}x_0$$

suficiente para demostrar que

$$\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x}+2+\cos{x}}{x+2}dx$$

¿diverge?

¿Cuáles son las técnicas estándar que se pueden utilizar en este tipo de problemas?

Answer 1

Para este ejercicio particular es suficiente para utilizar la desigualdad $$ \frac{{\sqrt x + 2 + \cos x}} {{x + 2}} \ge \frac{1}{{x + 2}} $$ a la conclusión de que la integral diverge, teniendo en cuenta que $\int_1^\infty {\frac{1}{{x + 2}}dx} = \int_3^\infty {\frac{1}{x}dx} = \infty $.

Answer 2

Sí. La integral

$$\int_{x_0}^{x_1}x^{-3/4}\mathrm dx=4\left(x_1^{1/4}-x_0^{1/4}\right)$$

diverge para $x_1\to\infty$ y su integral está delimitado por abajo por este integral (para $x_0\ge1$), por lo tanto la integral diverge.

Por cierto, te estás perdiendo la $\mathrm dx$ en el extremo de los integrales.

Answer 3

Sí. La técnica utilizada aquí es: si $0 \le f(x) \le g(x)$ y $\int_a^b f$ diverge, entonces $\int_a^b g$ también diverge. ¡Vea si usted puede probarlo!