Producto de ideales fraccionales

Question

Que $R$ ser un anillo conmutativo noetheriano. Sea $I,J\subset K(R)$ ideales fraccionarios $K(R)$ Dónde está el anillo cociente total. Definir $I^{-1}:={s\in K(R) : sI\subset R}.$ más Supongamos que $I$ es invertible ej $I^{-1}I=R$. Entonces $I^{-1}J={s\in K(R) : sI\subset J}.$ (LHS es un producto como ideales).

¿Es esto cierto y por qué?

(Si es necesario, podemos añadir una hipótesis más: $J$ es también inversible.)

Answer 1

Que $L = {s\in K(R) : sI\subset J}.$

Supongamos que $s \in L$. Entonces $sII^{-1} \subset JI^{-1}$. Por lo tanto, $sR \subset JI^{-1}$. Por lo tanto, $s \in JI^{-1}$. Por lo tanto, $L \subset JI^{-1}$.

Por el contrario, supongamos que $s \in JI^{-1}$. Entonces $sI \subset JI^{-1}I = JR = J$. Por lo tanto, $s \in L$. Por lo tanto, $JI^{-1} \subset L$

Answer 2

Tomar $R=Z[\sqrt{-3}]$, $I=(2,1+\sqrt{-3})$, $J=I$, y $\omega=(1+\sqrt{-3})/2$. Aviso que $\omega I=I$. El punto es que $I$ es al mismo tiempo un ideal para el anillo de $R$ y el anillo de $S=R[\omega]$, pero $S$ es un dominio de Dedekind y sus ideales fraccionarios son invertible.

Como un $S$-ideal, $I$ es sólo $2S$ y el conjunto de $x$ que $xI\subset S$ es $(1/2)S$. Desde $R\subset S$, usted puede utilizar esto para ver que $I^{-1}$ $R$ ideal es sólo $S$. Por lo $I^{-1}I=SI=I$. Mirando al otro lado de su propuesta de igualdad, tenemos $SI\subset I$, de modo que el lado que contiene S. por lo tanto la propuesta de igualdad de falla en general.

Answer 3

No estoy seguro que totalmente entiendo aun lo que estás preguntando, pero si tu pregunta es sobre el sentido de que el producto de los ideales, entonces tenemos por definición $$I^{-1}J={t:=a_1j_1+...+a_nj_n\;\;|\;a_k\in I^{-1}\,,\,j_k\in J\,\,,\,n\in\Bbb N\,\,\text{not fixed}}$ $ pero para cualquier %#% $ de #% y terminados.