Conjetura generalizadora de bertrand.

Question

Joseph Bertrand de la conjetura de los números primos a partir de 1845, $\;p_{n+1} < 2p_n$, demostrado por Chebyshev de 1852, se puede generalizar como sigue: $$\forall a\in\Bbb Z_+\exists N\in\Bbb Z_+:(n\ge N\implies\exists p\in\Bbb P: ap_n<p<(a+1)p_n)$$ Parece ser que se han demostrado para la $a=2,3$ que $N=1$ obras (Wikipedia).

Las pruebas del equipo para $p_n< 10,000,000$ $(n\le 664,579)$:
$a=5,9,14$ tiene para todos los números primos $p_n\ge 2$, es decir, se parece a $N=1$.
El caso de $a=4$ es la prueba de $p_n\ge 5\; (N=3)$. El caso de $a=25$ es la prueba de $p_n\ge 23\; (N=9)$.

Equipo de pruebas para $p_n<1,000,000\;(n\le 78,498)$:

Equipo de pruebas para $p_n<100,000\;(n\le 9,592)$:

Lo que se sabe acerca de esto?
Es la conjetura posible demostrar?

Answer 1

Esta es una consecuencia inmediata del teorema del número primo.

En realidad, la siguiente afirmación más fuerte es verdadera:

Para cada$a>1$ existe un$N$, de modo que para todos$n>N$ existe un primo entre$n$ y$an$.

La prueba es la siguiente: Por PNT tenemos$$lim_n \frac{p_{n+1}}{p_n}=1$ $

Por lo tanto, existe un$M$ para que para todos los$n >M$ tenemos$$\frac{p_{n+1}}{p_n}<a$ $

Dejar $N=p_{M+1}$. Luego, para cada$n >N$, elija$p_k$ para que sea el último primo tal que$p_{k} \leq n$. Entonces$p_{k+1} >n$ y$$\frac{p_{k+1}}{p_k} \leq a \Rightarrow p_{k+1} \leq a p_k \leq an$ $

Answer 2

Sabemos que existe un número primo entre$x$ y$x\left(1+\frac{1}{25\log\left(x\right)^{2}}\right)$ para todos lo suficientemente grandes$x$, por lo que si solucionamos$a$ tenemos una% lo suficientemente grande $N$ de manera tal que $\forall n\geq N$ existe una prima$p$ tal que$$ ap_{n}<p<\left(a+\frac{a}{25\log\left(ap_{n}\right)^{2}}\right)p_{n}$ $ Ahora si$n$ es lo suficientemente grande que tenemos (tenemos la solución$a$)$$\frac{a}{25\log\left(ap_{n}\right)^{2}}<1$ $ así que PS

Answer 3

Menos una respuesta, más hacia más información. Los primos de Ramanujan son otra generalización de la conjetura de Bertrand. Estos primos también se han generalizado. Hay al menos 10 artículos sobre los números primos de Ramanujan y sus generalizaciones, por lo que le sugiero que utilice Google Scholar para multarlos. También puede encontrar algunos números similares.