El determinante de un bloque de Matriz de Orden $2n$

Question

Consideremos el $2n \times 2n$ bloque de la matriz $$\mathbf{X} = \pmatrix{\mathbf{P} & \mathbf{Q}\\ \mathbf{R} & \mathbf{S} }$$ where $\mathbf{P} , \mathbf{Q} , \mathbf{R} , \mathbf{S}$ are square matrices of order $n$ which commute pairwise. Show that $$\det \mathbf{X} = \det (\mathbf{PS} - \mathbf{QR}).$$

El problema en este caso estoy teniendo es cuando ninguna de las matrices de $ \mathbf{P} , \mathbf{Q} , \mathbf{R} , \mathbf{S} $ es invertible. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Es suficiente para $P$ $R$ a viajar. Al $P$ es invertible,

$\det(X) = \det(PS - PRP^{-1}Q)$. Si $P$ $R$ viaje y $P$ a no es invertible, considere la posibilidad de

$$f(t) = \det \pmatrix{P+tI & Q\cr R & S\cr}$$

Para todos, pero un número finito de $t$, $P+tI$ es invertible, y que conmuta con $R$, por lo que $$f(t) = \det((P+tI)S - (P+tI) R (P+tI)^{-1} Q) = \det((P+tI)S - RQ)$$ Ahora, tanto por $f(t)$ $\det((P+tI)S - RQ)$ son polinomios en $t$, por lo que si son iguales para todos, pero un número finito de $t$ que son iguales para todas las $t$.