El formalizó la teoría de la aritmética por lo general ha $(+, \cdot, 0, s)$ como su lengua. Sin embargo, a partir de lo que se suele hacer en forma de anillo en teoría, parece natural usar $(+, \cdot, 0, 1)$ como el lenguaje de la aritmética.
¿Por qué usamos la función sucesor, no la constante 1, cuando nos formalizar la aritmética? ¿Hay alguna práctica, filosófica o histórica razones detrás de esto?
Peano (en el contexto de la pregunta) estaba interesado en los números naturales, y no en general de los anillos (que no existen en el momento, pero se puede decir que Peano fue, sin duda, consciente de los anillos, incluso si él no les llaman anillos).
Un estudio fundamental de los números naturales debe identificar ciertos aspectos de los números naturales en los que un axiomatization. Para los naturales es el concepto de que el sucesor de un elemento que es fundamental. Después de todo, ¿qué son los números naturales $\{0,1,2,3,\}$ si no: Iniciar con $0$, después de aplicar el sucesor operación de nuevo y de nuevo y de nuevo. Esto está lejos de ser una cosa trivial se convierta en algo formal y útil, pero que ya muestra que el sucesor es más importante (o más fundamental, o más primitiva) que, por ejemplo, la adición o multiplicación. En efecto, ¿a que incluso definir la suma o la multiplicación sin el sucesor de la operación?
Así que, incluso hoy en día con nuestro elaborado maquinaria de resumen de los anillos y otras estructuras algebraicas, si usted está interesado en los productos naturales foundationally, entonces usted no desea que el idioma de los anillos, pero en lugar de la aritmética de Peano. La existencia de distintos modelos estándar de $PA$ muestra cómo la no-trivial de la noción de "el sucesor de" es para los naturales.
No hay ninguna diferencia significativa entre el$(+,\cdot,0,1)$$(+,\cdot,0, s)$. Ellos serán intercambiables, módulo de reescritura de algunos términos, esencialmente para todo propósito. Si hay alguna preferencia entre los dos, es probable que las preferencias personales o de la tradición, en vez de alguna técnica matemática de la razón.
Es mucho más importante diferencia entre el$(0,s)$$(+,\cdot, 0,s)$. El primero es suficiente cuando nos formalizar los números naturales en el ambiente de la teoría, como la teoría de conjuntos, que nos permite definir $+$$\cdot$$s$. Este fue el contexto de Peano original de la obra.
Pero, si nos formalizar la aritmética en su propio, la firma de $(+,\cdot, 0, 1)$ (o equivalente) es necesario, ya que el primer orden de teoría de los números naturales en la firma de $(0,s)$ no es capaz de definir $+$ o $\cdot$, y ninguno de los operadores es definible a partir de la otra. La teoría con sólo 0, sucesor, y además es conocida como la aritmética de Presburger, y es un ejemplo conocido de un débil sistema de la aritmética. El primer orden de teoría de la aritmética de Peano es axiomatized en un idioma que incluye los $+$ $\cdot$ como las operaciones básicas.
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