La integral definida de la función desconocida dado algo de información adicional

Question

Dado

1. $f$ integrable en [0,3]
2. $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = 1$,
3. $f(x+1) = \frac{1}{2}f(x)$ para todo x $\in [0, 2]$

¿Cómo puedo encontrar a $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ ?

Traté de que se rompa en la siguiente manera:

$\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$

No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí...ha sido un largo tiempo desde que tomó el cálculo, y probablemente soy olvidando de algo muy básico. Me siento como la solución tiene algo que ver con la sustitución o el teorema fundamental. Me doy cuenta de que 1 y 2 son 0+1, 1+2 por lo que sustituyendo x+1 f(x), o algo a lo largo de esas líneas?

Answer 1

Romper la integral es una buena idea para empezar. Proceda de la siguiente manera:

$\int_{0}^{3}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{3}f(x)dx=1+\int_{1}^{3}f(1+(x-1))dx$

$=1+\int_{0}^{2}f(1+u)du$

por el cambio de variables y teorema de identidad $1$.

Entonces tenemos que,

$=1+\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(u)du=1+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f(u)du+\frac{1}{2}\int_{1}^{2}f(u)du=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\int_{1}^{2}f(1+(u-1))du$.

por la identidad de $1$$3$. Ahora por el cambio de variables y teorema de identidades $1$ $3$ tenemos

$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f(1+z)dz=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$.

Answer 2

Ese es un buen comienzo, y lo que cuenta es la idea de derecho a fin, para cualquier función de $g$ y valores de $a,b,c$, es cierto que $$\int_a^bg(x)\,dx=\int_{a-c}^{b-c}g(x+c)\,dx.$$

Answer 3

Sugerencia:

$$\int_1^2f(t)\,dt=\int_0^1f(x+1)\,dx={1\over 2}\int_0^1f(x)\,dx={1\over 2}$$

Answer 4

La clave aquí es reconocer que

$$\int_1^2 dx \, f(x) = \frac12 \int_0^1 dx \, f(x)$$

etc. Porque

$$\int_0^1 dx \, f(x) = 1$$

entonces

$$\int_0^3 dx \, f(x) = 1+\frac12+\frac14 = \frac{7}{4}$$