Reflejar un punto sobre una línea creada por otros dos puntos

Question

Este problema surgió mientras discutíamos el uso de un simplex para resolver sistemas de ecuaciones.
(Por cierto, sí, esto es muy similar a éste .)

Dados tres puntos, ¿cómo encuentro la situación del punto que resulta de reflejar uno de ellos sobre la recta que une los otros dos?

Esto es lo que quiero decir:

¿Cómo puedo encontrar $C'$ ?

Answer 1

Como referencia:

Deja...
$\vec{P} = \langle x-a, y-b \rangle$
$\vec{Q} = \langle c-a, d-b \rangle$
$\theta = \text{ the angle between } \vec{P} \text{ and } \vec{Q}$

En primer lugar, empecemos por proyectar $\vec{P}$ en $\vec{Q}$ . En matemáticas...

$\vec{K} = \text{Proj}_{\vec{Q}} \vec{P} = \displaystyle \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{||\vec{Q}||^2} \vec{Q}$

Esto nos da el vector $\vec{K}$ que va desde $A$ a la "intersección" de las dos líneas $\overline{AB}$ y $\overline{CC'}$ . Para encontrar el vector de $C$ a esa intersección, basta con restar $\vec{K}$ de $\vec{P}$ . A continuación, puedes multiplicar este vector por dos y sumarlo a $C$ para obtener $C'$ o lo que es lo mismo $2(\vec{K}-\vec{P}) + \vec{P}$ . Esto equivale a $2\vec{K}-\vec{P}$ . Sustituyendo la fórmula de $\vec{K}$ de vuelta en da:

$\vec{P'} = \displaystyle 2\frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{||\vec{Q}||^2} \vec{Q} - \vec{P}$

Ahora puede añadir $\vec{P'}$ a $A$ para obtener $C'$ . ¿Es suficiente para sus necesidades?