Demostrar que $\frac{n+1}{2} \leq 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdots\sqrt[n]{2}$

Question

Demostrar que : $\dfrac{n+1}{2} \leq 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdots\sqrt[n]{2}$ .

No puedo demostrarlo ni siquiera por inducción y método general. De hecho, cuando miro la cuestión $2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdots\sqrt[n]{2}\leq n+1$ En el caso de la pregunta que me hicieron, recibí una sugerencia en forma de comentario para utilizar el teorema del binomio y mostré $$\left(1+\frac1n\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\frac1{n^k}\geq1+{n\choose 1}\frac1n=2.$$ Así, la expresión se convierte en $$2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdots \sqrt[n]{2} \leq \left(1 +\dfrac{1}{1}\right)\left(1 +\dfrac{1}{2}\right)\left(1 +\dfrac{1}{3}\right)...\left(1 +\dfrac{1}{n}\right)=n+1.$$ Quiero resolver este problema exactamente con el mismo método. Para ello tengo que demostrar que $$\sqrt[n]{2} \leq \dfrac{n+2}{n+1}.$$ ¿Cómo lo hago?

Answer 1

Teniendo en cuenta los derechos, $$A_n=\prod_{i=1}^n 2^{\frac 1 n}$$ $$\log(A_n)=\sum_{i=1}^n \log(2^{\frac 1 n})=\log(2)\sum_{i=1}^n \frac 1 n=H_n\log(2)$$ Para grandes valores de $n$ , $$H_n=\gamma +\log(n)+\frac{1}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ mientras que el logaritmo de la lhs se escribiría $$\log(2)+\log(n) +\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ y, utilizando estas expansiones cortas, se puede ver que $\left(\log(rhs)-\log(lhs)\right)$ cancela cerca de $n=32$ y a partir de ahí, se convierte en negativo.

Así que, como los comentarios ya lo demostraron, la desigualdad sólo se mantiene para un pequeño rango de $n$ (hasta una cantidad finita de $n$ como bien ha señalado Did).