Cada finito-dimensional subespacio es complementado

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach. Es sabido que si cada subespacio cerrado de $X$ es complementado, a continuación, $X$ es isométricamente isomorfo a un espacio de Hilbert.

Ahora bien, si cada finito-dimensional subespacio de $X$ es la complementa, es cierto que es $X$ isométricamente isomorfo a un espacio de Hilbert?

Answer 1

Sí, esto es cierto y puede que se limite a las dos dimensiones de los subespacios! Es decir, $X$ es isométrico a un espacio de Hilbert si y sólo si cada dos dimensiones subespacio es 1-complementa. Esto es debido a Kakutani (1939) en el caso real, y Bohnenblust (1941) en el caso complejo.

Referencias:

P. Bohnenblust, Una caracterización de complejos de Hilbert espacios, Portugaliae de Matemáticas., 3 (1942), 103 a 109.

S. Kakutani, Algunas de las caracterizaciones de espacio Euclidiano, Japón. J. Math. 16 (1939), 93-97.

Answer 2

Nunca he oído hablar de el resultado que usted dijo. Doy por sentado.

Gracias a la ley del paralelogramo es suficiente para demostrar que cualquiera de las dos dimensiones subespacio es un espacio de Hilbert. Ahora tomar cualquiera de las dos dimensiones subespacio $E$$X$. De la asunción cualquier $1$-dimensiones subespacio de $E$ es complementado en $X$ y, a fortiori, en $E$. Por lo tanto, del resultado que se indica en el principio de la pregunta que tenemos que $E$ es un espacio de Hilbert.