La integración de $e^{ \cos(x)\sin(x)}$ $0$ $2\pi$

Question

Así que estoy tratando de averiguar cómo, o si incluso es posible, para integrar la $e^{\sin(x)\cos(x)}$ analíticamente de$0$$2\pi$.

Sé que se puede integrar a $e^{\cos(x)+\sin(x)}$ o $e^{\cos(x)^2}$ y estos me acaba de dar funciones de Bessel.. pero no sé cómo hacer el uno en el titulo.. y las búsquedas de google son quedarse corto.

¿Alguien tiene alguna idea?

Saludos

Answer 1

Puede utilizar $\cos(x)\sin(x)=\frac 12 \sin(2x)$ y quizás $u=2x$ para llegar a una forma de saber.

Answer 2

$\int_0^{2\pi}e^{\sin x\cos x}~dx$

$=\int_0^{2\pi}e^{\frac{\sin2x}{2}}~dx$

$=\dfrac{1}{2}\int_0^{4\pi}e^{\frac{\sin x}{2}}~dx$

$=\int_0^{2\pi}e^{\frac{\sin x}{2}}~dx$

$=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{3\pi}{2}e^{\frac{\sin\bigl(\frac{\pi}{2}+x\bigr)}{2}}~d\biggl(\dfrac{\pi}{2}+x\biggr)$

$=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{3\pi}{2}e^{\frac{\cos x}{2}}~dx$

$=\int_{-\pi}^\pi e^{\frac{\cos x}{2}}~dx$

$=\int_{-\pi}^0e^{\frac{\cos x}{2}}~dx+\int_0^\pi e^{\frac{\cos x}{2}}~dx$

$=\int_\pi^0e^{\frac{\cos(-x)}{2}}~d(-x)+\int_0^\pi e^{\frac{\cos x}{2}}~dx$

$=\int_0^\pi e^{\frac{\cos x}{2}}~dx+\int_0^\pi e^{\frac{\cos x}{2}}~dx$

$=2\int_0^\pi e^{\frac{\cos x}{2}}~dx$

$=2\pi I_0\left(\dfrac{1}{2}\right)$